Question

¿Para cuántos enteros positivos $n \le 1000$ el valor $\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor$ no es divisible entre $3$ ? (Recuerda que $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$ )

For how many positive integers $n \le 1000$ is $\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor$ not divisible by $3?$ (Recall that $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Escribe $1000=qn+r$ , donde $0\le r<n$ . Entonces $\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q$ . Los otros dos pisos suelen ser también $q$ , salvo que restar $1$ o $2$ a $1000$ cruza un múltiplo de $n$ cuando $r$ es pequeño.

Para $n>1$ , la suma no es divisible entre $3$ exactamente cuando $r=0$ o $r=1$ . El caso $r=0$ da los divisores de $1000$ , excluyendo el $1$ , lo que son $15$ valores. El caso $r=1$ da los divisores de $999$ , excluyendo el $1$ , lo que son $(3+1)(1+1)-1=7$ valores. El total es $22$ . Así, A es la respuesta correcta.

Write $1000=qn+r$ , where $0\le r<n$ . Then $\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q$ . The other two floors are usually also $q$ , except that subtracting $1$ or $2$ from $1000$ crosses a multiple of $n$ when $r$ is small.

For $n>1$ , the sum is not divisible by $3$ exactly when $r=0$ or $r=1$ . The case $r=0$ gives divisors of $1000$ , excluding $1$ , for $15$ values. The case $r=1$ gives divisors of $999$ , excluding $1$ , for $(3+1)(1+1)-1=7$ values. The total is $22$ . Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años