Question

¿Para cuántos enteros positivos

n \le 1000

el valor

\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor

no es divisible entre

3

? (Recuerda que

\lfloor x \rfloor

es el mayor entero menor o igual que

x.

)

For how many positive integers

n \le 1000

is

\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor

not divisible by

3?

(Recall that

\lfloor x \rfloor

is the greatest integer less than or equal to

x.

)

22

23

24

25

26

Respuesta: A

Conceptos:funciones piso y techo divisibilidad conteo de factores

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Sea

1000=qn+r

.

Let

1000=qn+r

Pista grande:

La suma de los pisos deja de ser múltiplo de

3

solo cuando restar

1

o

2

cruza un múltiplo de

n

.

The sum of floors fails to be a multiple of

3

only when subtracting

1

or

2

crosses a multiple of

n

Solución en video:

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Solución escrita:

Escribe

1000=qn+r

, donde

0\le r<n

. Entonces

\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q

. Los otros dos pisos suelen ser también

q

, salvo que restar

1

o

2

a

1000

cruza un múltiplo de

n

cuando

r

es pequeño.

Para

n>1

, la suma no es divisible entre

3

exactamente cuando

r=0

o

r=1

. El caso

r=0

da los divisores de

1000

, excluyendo el

1

, lo que son

15

valores. El caso

r=1

da los divisores de

999

, excluyendo el

1

, lo que son

(3+1)(1+1)-1=7

valores. El total es

22

. Así, A es la respuesta correcta.

Write

1000=qn+r

, where

0\le r<n

. Then

\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q

. The other two floors are usually also

q

, except that subtracting

1

or

2

from

1000

crosses a multiple of

n

when

r

is small.

For

n>1

, the sum is not divisible by

3

exactly when

r=0

or

r=1

. The case

r=0

gives divisors of

1000

, excluding

1

, for

15

values. The case

r=1

gives divisors of

999

, excluding

1

, for

(3+1)(1+1)-1=7

values. The total is

22

. Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 22