Question

Dentro de un cono circular recto con radio de la base $5$ y altura $12$ hay tres esferas congruentes de radio $r.$ Cada esfera es tangente a las otras dos esferas y también tangente a la base y al lado del cono. ¿Cuánto vale $r$ ?

Inside a right circular cone with base radius $5$ and height $12$ are three congruent spheres with radius $r.$ Each sphere is tangent to the other two spheres and also tangent to the base and side of the cone. What is $r?$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{90-40\sqrt{3}}{11}$

$2$

$\dfrac{144-25\sqrt{3}}{44}$

$\dfrac{5}{2}$

Solución:

Sea el cono con la base en el plano $z=0$ , centro en el origen, y vértice sobre el eje $z$ . Los centros de las tres esferas forman un triángulo equilátero de lado $2r$ , así que un centro de esfera puede tomarse a distancia horizontal $\frac{2r}{\sqrt3}$ del eje del cono y altura $r$ sobre la base.

En la sección transversal axial que pasa por ese centro y el eje del cono, el lado del cono es la recta $12\rho+5z=60$ , donde $\rho$ es la distancia horizontal al eje. La distancia de $\left(\frac{2r}{\sqrt3},r\right)$ a esta recta debe ser $r$ : $r=\frac{60-12\cdot\frac{2r}{\sqrt3}-5r}{13}.$

Así, $(18+8\sqrt3)r=60$ , de modo que $r=\frac{60}{18+8\sqrt3}=\frac{90-40\sqrt3}{11}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the cone have base in the plane $z=0$ , center at the origin, and vertex on the $z$ -axis. The centers of the three spheres form an equilateral triangle of side $2r$ , so one sphere center may be taken at horizontal distance $\frac{2r}{\sqrt3}$ from the cone axis and height $r$ above the base.

In the axial cross-section through that center and the cone axis, the side of the cone is the line $12\rho+5z=60$ , where $\rho$ is horizontal distance from the axis. The distance from $\left(\frac{2r}{\sqrt3},r\right)$ to this line must be $r$ : $r=\frac{60-12\cdot\frac{2r}{\sqrt3}-5r}{13}.$

Thus $(18+8\sqrt3)r=60$ , so $r=\frac{60}{18+8\sqrt3}=\frac{90-40\sqrt3}{11}.$

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años