Question

Se eligen ocho puntos en un círculo, y se trazan cuerdas conectando cada par de puntos. No hay tres cuerdas que se intersequen en un solo punto dentro del círculo. ¿Cuántos triángulos con los tres vértices en el interior del círculo se forman?

Eight points are chosen on a circle, and chords are drawn connecting every pair of points. No three chords intersect in a single point inside the circle. How many triangles with all three vertices in the interior of the circle are created?

$28$

$56$

$70$

$84$

$140$

Solución:

Un triángulo interior se forma por tres cuerdas que se intersecan por pares dentro del círculo. Tal triángulo usa seis extremos distintos en el círculo.

Recíprocamente, para cualesquiera seis puntos elegidos en orden circular, exactamente un conjunto de tres cuerdas empareja extremos opuestos de modo que las tres cuerdas se intersecan por pares dentro del círculo.

Por lo tanto, el número de triángulos es $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

An interior triangle is formed by three chords that pairwise intersect inside the circle. Such a triangle uses six distinct endpoints on the circle.

Conversely, for any six chosen points in circular order, exactly one set of three chords pairs opposite endpoints so that the three chords intersect pairwise inside the circle.

Therefore the number of triangles is $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años