Question

Cada una de $2010$ cajas en una fila contiene una sola canica roja, y para $1 \le k \le 2010,$ la caja en la $k$ -ésima posición también contiene $k$ canicas blancas. Isabella comienza en la primera caja y sucesivamente extrae una sola canica al azar de cada caja, en orden. Se detiene cuando extrae por primera vez una canica roja. Sea $P(n)$ la probabilidad de que Isabella se detenga después de extraer exactamente $n$ canicas. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}$ ?

Each of $2010$ boxes in a line contains a single red marble, and for $1 \le k \le 2010,$ the box in the $k$ th position also contains $k$ white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let $P(n)$ be the probability that Isabella stops after drawing exactly $n$ marbles. What is the smallest value of $n$ for which $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?$

$45$

$63$

$64$

$201$

$1005$

Solución:

Como hay $k + 1$ canicas en la $k$ -ésima caja, hay una probabilidad de $\dfrac{k}{k + 1}$ de que Isabella extraiga una canica blanca de ella.

La probabilidad de extraer una canica roja es entonces $\dfrac{1}{k + 1}.$ Para detenerse después de extraer la $n$ -ésima canica, las primeras $n - 1$ canicas deben haber sido blancas.

Esto ocurre con una probabilidad de $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Nota que todos los numeradores se cancelan con el denominador adyacente, lo que significa que esta expresión se reduce a $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

Tenemos que encontrar el menor $n$ tal que $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Probando y verificando obtenemos que el menor $n$ que funciona es $45.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since there are $k + 1$ marbles in the $k$ th box, there is a $\dfrac{k}{k + 1}$ chance Isabella draws a white marble from it.

The probability of drawing a red marble is then $\dfrac{1}{k + 1}.$ To stop after drawing the $n$ th marble, the first $n - 1$ marbles must have been white.

This happens with a probability of $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Note that all the numerators cancel with the adjacent denominator, which means that this expression reduces to $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

We have to find the smallest $n$ such that $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Guessing and checking gives us that the smallest $n$ that works is $45.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años