Question

Cada una de

2010

cajas en una fila contiene una sola canica roja, y para

1 \le k \le 2010,

la caja en la

k

-ésima posición también contiene

k

canicas blancas. Isabella comienza en la primera caja y sucesivamente extrae una sola canica al azar de cada caja, en orden. Se detiene cuando extrae por primera vez una canica roja. Sea

P(n)

la probabilidad de que Isabella se detenga después de extraer exactamente

n

canicas. ¿Cuál es el menor valor de

n

para el cual

P(n) \lt \dfrac{1}{2010}

?

Each of

2010

boxes in a line contains a single red marble, and for

1 \le k \le 2010,

the box in the

k

th position also contains

k

white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let

P(n)

be the probability that Isabella stops after drawing exactly

n

marbles. What is the smallest value of

n

for which

P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?

45

63

64

201

1005

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad básica telescópica desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Las primeras

n-1

extracciones deben ser blancas, luego la

n

-ésima extracción roja.

The first

n-1

draws must be white, then the

n

th draw red

Pista grande:

Las probabilidades de blanco se telescopan:

\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}

.

The white probabilities telescope:

\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}

Solución:

Como hay

k + 1

canicas en la

k

-ésima caja, hay una probabilidad de

\dfrac{k}{k + 1}

de que Isabella extraiga una canica blanca de ella.

La probabilidad de extraer una canica roja es entonces

\dfrac{1}{k + 1}.

Para detenerse después de extraer la

n

-ésima canica, las primeras

n - 1

canicas deben haber sido blancas.

Esto ocurre con una probabilidad de

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.

Nota que todos los numeradores se cancelan con el denominador adyacente, lo que significa que esta expresión se reduce a

\dfrac{1}{n(n + 1)}.

Tenemos que encontrar el menor

n

tal que

\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}

n(n + 1) \gt 2010.

Probando y verificando obtenemos que el menor

n

que funciona es

45.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since there are

k + 1

marbles in the

k

th box, there is a

\dfrac{k}{k + 1}

chance Isabella draws a white marble from it.

The probability of drawing a red marble is then

\dfrac{1}{k + 1}.

To stop after drawing the

n

th marble, the first

n - 1

marbles must have been white.

This happens with a probability of

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.

Note that all the numerators cancel with the adjacent denominator, which means that this expression reduces to

\dfrac{1}{n(n + 1)}.

We have to find the smallest

n

such that

\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}

n(n + 1) \gt 2010.

Guessing and checking gives us that the smallest

n

that works is

45.

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años