Question

Los enteros $a,$ $b,$ y $c$ satisfacen

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $ab + bc + ca$ ?

Integers $a,$ $b,$ and $c$ satisfy

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}$

What is $ab + bc + ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

Solución:

Suma las tres ecuaciones: $(ab + bc + ca) + (a + b + c)$ $= 247.$ Ahora réstalas por pares, lo que factoriza limpiamente como $(a - c)(b - 1) = 13,$ $(b - a)(c - 1) = 27,$ y $(b - c)(a - 1) = 40.$ Estas determinan $(a, b, c) = (-9, -12, -8),$ así que $a + b + c = -29.$ Entonces $ab + bc + ca = 247 - (-29)$ $= 276.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Add the three equations: $(ab + bc + ca) + (a + b + c)$ $= 247.$ Now subtract them in pairs, which factors nicely as $(a - c)(b - 1) = 13,$ $(b - a)(c - 1) = 27,$ and $(b - c)(a - 1) = 40.$ These pin down $(a, b, c) = (-9, -12, -8),$ so $a + b + c = -29.$ Then $ab + bc + ca = 247 - (-29)$ $= 276.$ Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años