Question

En el trapecio

ABCD

tenemos

\overline{AB}

paralelo a

\overline{DC},

E

como punto medio de

\overline{BC},

y

F

como punto medio de

\overline{DA}.

El área de

ABEF

es el doble del área de

FECD.

¿Cuánto vale

\dfrac{AB}{DC}

?

In trapezoid

ABCD

we have

\overline{AB}

parallel to

\overline{DC},

E

as the midpoint of

\overline{BC},

and

F

as the midpoint of

\overline{DA}.

The area of

ABEF

is twice the area of

FECD.

What is

\dfrac{AB}{DC}?

2

3

5

6

8

Respuesta: C

Conceptos:trapecio razón de áreas punto medio

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El segmento medio

\overline{FE}

tiene longitud

\dfrac{AB+DC}{2}

.

The midsegment

\overline{FE}

has length

\dfrac{AB+DC}{2}

Pista grande:

Los dos trapecios menores comparten una altura, así que sus áreas se comparan como los promedios de sus lados paralelos.

The two smaller trapezoids share a height, so their areas compare like the averages of their parallel sides

Solución:

Sea

AB = a

y

DC = c.

El segmento medio

\overline{FE}

tiene longitud

\dfrac{a + c}{2},

y

ABEF

y

FECD

tienen la misma altura.

Sus áreas son proporcionales a los promedios de sus lados paralelos, así que

\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.

Entonces

3a + c = 2a + 6c,

así que

a = 5c

y

\dfrac{AB}{DC} = 5.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let

AB = a

and

DC = c.

The midsegment

\overline{FE}

has length

\dfrac{a + c}{2},

and

ABEF

and

FECD

have the same height.

Their areas are proportional to the averages of their parallel sides, so

\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.

Then

3a + c = 2a + 6c,

so

a = 5c

and

\dfrac{AB}{DC} = 5.

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años