Question

En el trapecio $ABCD$ tenemos $\overline{AB}$ paralelo a $\overline{DC},$ $E$ como punto medio de $\overline{BC},$ y $F$ como punto medio de $\overline{DA}.$ El área de $ABEF$ es el doble del área de $FECD.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{AB}{DC}$ ?

In trapezoid $ABCD$ we have $\overline{AB}$ parallel to $\overline{DC},$ $E$ as the midpoint of $\overline{BC},$ and $F$ as the midpoint of $\overline{DA}.$ The area of $ABEF$ is twice the area of $FECD.$ What is $\dfrac{AB}{DC}?$

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

Solución:

Sea $AB = a$ y $DC = c.$ El segmento medio $\overline{FE}$ tiene longitud $\dfrac{a + c}{2},$ y $ABEF$ y $FECD$ tienen la misma altura.

Sus áreas son proporcionales a los promedios de sus lados paralelos, así que $\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.$

Entonces $3a + c = 2a + 6c,$ así que $a = 5c$ y $\dfrac{AB}{DC} = 5.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $AB = a$ and $DC = c.$ The midsegment $\overline{FE}$ has length $\dfrac{a + c}{2},$ and $ABEF$ and $FECD$ have the same height.

Their areas are proportional to the averages of their parallel sides, so $\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.$

Then $3a + c = 2a + 6c,$ so $a = 5c$ and $\dfrac{AB}{DC} = 5.$

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años