Question

Sea $n$ un entero positivo mayor que 4 tal que la representación decimal de $n!$ termina en $k$ ceros y la representación decimal de $(2n)!$ termina en $3k$ ceros. Sea $s$ la suma de los cuatro menores valores posibles de $n.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $s$ ?

Let $n$ be a positive integer greater than 4 such that the decimal representation of $n!$ ends in $k$ zeros and the decimal representation of $(2n)!$ ends in $3k$ zeros. Let $s$ denote the sum of the four least possible values of $n.$ What is the sum of the digits of $s?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

El número de ceros finales es el número de factores de $5$ . Para $5\le n\le9$ , $n!$ tiene $k=1$ cero. Necesitamos que $(2n)!$ tenga $3$ ceros, lo que ocurre cuando $15\le2n\le19$ . Así $n=8,9$ .

Para $10\le n\le14$ , $n!$ tiene $k=2$ ceros. Necesitamos que $(2n)!$ tenga $6$ ceros, lo que ocurre cuando $25\le2n\le29$ . Así $n=13,14$ .

Estos son los cuatro menores valores posibles, así que $s=8+9+13+14=44$ . La suma de los dígitos de $s$ es $8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number of trailing zeros is the number of factors of $5$ . For $5\le n\le9$ , $n!$ has $k=1$ zero. We need $(2n)!$ to have $3$ zeros, which happens when $15\le2n\le19$ . Thus $n=8,9$ .

For $10\le n\le14$ , $n!$ has $k=2$ zeros. We need $(2n)!$ to have $6$ zeros, which happens when $25\le2n\le29$ . Thus $n=13,14$ .

These are the four least possible values, so $s=8+9+13+14=44$ . The sum of the digits of $s$ is $8$ .

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años