Question

Sea $N=123456789101112\dots4344$ el número de $79$ cifras que se forma escribiendo los enteros del $1$ al $44$ en orden, uno tras otro. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $45$ ?

Let $N=123456789101112\dots4344$ be the $79$ -digit number that is formed by writing the integers from $1$ to $44$ in order, one after the other. What is the remainder when $N$ is divided by $45?$

$1$

$4$

$9$

$18$

$44$

Solución:

Para hallar el residuo al dividir entre $45,$ debemos hallar el residuo al dividir entre $5$ y $9.$ El residuo al dividir entre $5$ es el residuo de la cifra de las unidades al dividirse entre $5,$ que es $4.$

Para hallar el residuo al dividir entre $9,$ normalmente hallamos la suma de las cifras. Sin embargo, cada número de dos cifras tiene el mismo residuo al dividirse entre $9$ que su suma de cifras, así que podemos simplemente tomar la suma de cada uno de los números del $1$ al $44$ , ya que tendrían el mismo residuo. La suma de los primeros $44$ números es $\dfrac{45\cdot 44}2$ , que es múltiplo de $9.$ Por lo tanto, $N$ es múltiplo de $9.$

Como es múltiplo de $9$ y tiene residuo $4$ al dividirse entre $5,$ el residuo al dividirse entre $45$ es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

To find the remainder when divided by $45,$ we must find the remainder when divided by $5$ and $9.$ The remainder when divided by $5$ is the remainder when the units digit is divided by $5,$ making it $4.$

To find the remainder when divided by $9,$ we usually find the sum of the digits. However, each double digit number has the same remainder when divided by $9$ as its digit sum, so we can just take the sum of each of the numbers from $1$ to $44$ as they would have the same remainder. The sum of the first $44$ digits is $\dfrac{45\cdot 44}2$ which is a multiple of $9.$ Thus, $N$ is a multiple of $9.$

Since it is a multiple of $9$ and has a remainder of $4$ when divided by $5,$ the remainder when divided by $45$ is $9.$

Thus, the correct answer is C .

2017 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años