Question

Los vértices de un triángulo equilátero están sobre la hipérbola $xy=1,$ y un vértice de esta hipérbola es el baricentro del triángulo. ¿Cuál es el cuadrado del área del triángulo?

The vertices of an equilateral triangle lie on the hyperbola $xy=1,$ and a vertex of this hyperbola is the centroid of the triangle. What is the square of the area of the triangle?

$48$

$60$

$108$

$120$

$169$

Solución:

Como la hipérbola es simétrica, sin pérdida de generalidad, podemos tomar $(1,1)$ como nuestro vértice. Luego, dado que tenemos el baricentro de un triángulo equilátero, el ángulo en el baricentro con cualesquiera dos puntos es $120^ \circ .$ La rama de la hipérbola con coordenadas negativas puede formar un ángulo de a lo sumo $90^\circ .$ Esto significa que no podemos tener dos puntos en la rama negativa.

Como la hipérbola es simétrica respecto de $y=x$ y siempre decrece, los dos puntos son reflejos uno del otro respecto de $y=x.$ Además, la altura está sobre $y=x,$ lo que hace que el otro punto también esté sobre $y=x.$ Esto hace que el otro punto sea $(-1,-1).$ Así, el circunradio es $2\sqrt 2$ , ya que es la distancia entre los dos puntos. Esto significa que tenemos $3$ triángulos isósceles con lados de longitud $2 \sqrt 2$ y ángulo $120^\circ.$

Por lo tanto, el área combinada es $3\cdot \dfrac{(2\sqrt 2)^2 \cdot \sin(120^ \circ)}2$ $= 12 \sin(120^\circ)$ $= 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}2$ $=\sqrt{108} .$ Esto hace que el cuadrado sea $108.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since the hyperbola is symmetric, without the loss of generality, we can have $(1,1)$ as our vertex. Then, since we have the centroid of an equilateral triangle, the angle at the centroid with any two points is $120^ \circ .$ The branch of the hyperbola with negative coordinates can make an angle of at most $90^\circ .$ This means that we can't have two points on the negative branch.

Since the hyperbola is symmetric over $y=x$ and it always decreases, the two points are reflected over $y=x.$ Also, the altitude is on $y=x,$ making the other point also on $y=x.$ This makes the other point $(-1,-1).$ Thus, the circumradius is $2\sqrt 2$ since it is the distance between the two points. This means we have $3$ isosceles triangles with side lengths $2 \sqrt 2$ and angle $120^\circ.$

Therefore, the combined area is $3\cdot \dfrac{(2\sqrt 2)^2 \cdot \sin(120^ \circ)}2$ $= 12 \sin(120^\circ)$ $= 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}2$ $=\sqrt{108} .$ This makes the square $108.$

Thus, the correct answer is C .

2017 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años