Question

Los números $1, 2, 3, 4, 5$ se van a colocar en un círculo. Una disposición es $\textit{bad}$ (mala) si no es cierto que para todo $n$ de $1$ a $15$ se pueda encontrar un subconjunto de los números que aparecen consecutivamente en el círculo cuya suma sea $n.$ Las disposiciones que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales. ¿Cuántas disposiciones malas diferentes hay?

The numbers $1, 2, 3, 4, 5$ are to be arranged in a circle. An arrangement is $\textit{bad}$ if it is not true that for every $n$ from $1$ to $15$ one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to $n.$ Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5 .$

Solución:

Los números individuales dan sumas de $1$ a $5$ , los complementos dan sumas de $10$ a $14$ , y los cinco números juntos dan $15$ . Así que una disposición es buena exactamente cuando los bloques consecutivos pueden formar las sumas $6$ y $7$ .

Si la suma $6$ es imposible, entonces $1$ no es adyacente a $5$ . Rotando y reflejando, escribe la disposición como $1bc5e$ . El par adyacente $bc$ no puede ser $\{2,3\}$ ni $\{2,4\}$ , ya que $1+2+3=6$ y $2+4=6$ . Así, $e=2$ , y al evitar el bloque consecutivo $2,1,3$ se obliga la disposición mala $14352$ .

Si la suma $7$ es imposible, entonces $2$ no es adyacente a $5$ . De manera similar, escribe la disposición como $2bc5e$ . Ahora $bc$ no puede ser $\{3,4\}$ ni $\{1,4\}$ , así que $e=4$ . Para evitar el bloque consecutivo $4,2,1$ , el orden restante debe ser $b=3,\ c=1$ , lo que da $23154$ .

Estas dos disposiciones son en efecto malas, una a la que le falta la suma $6$ y la otra a la que le falta la suma $7$ . Por lo tanto, hay $2$ disposiciones malas.

Así, la respuesta correcta es B.

Single numbers give sums $1$ through $5$ , complements give sums $10$ through $14$ , and all five numbers give $15$ . So an arrangement is good exactly when consecutive blocks can make sums $6$ and $7$ .

If sum $6$ is impossible, then $1$ is not adjacent to $5$ . By rotating and reflecting, write the arrangement as $1bc5e$ . The adjacent pair $bc$ cannot be $\{2,3\}$ or $\{2,4\}$ , since $1+2+3=6$ and $2+4=6$ . Thus $e=2$ , and avoiding the consecutive block $2,1,3$ forces the bad arrangement $14352$ .

If sum $7$ is impossible, then $2$ is not adjacent to $5$ . Similarly write the arrangement as $2bc5e$ . Now $bc$ cannot be $\{3,4\}$ or $\{1,4\}$ , so $e=4$ . To avoid the consecutive block $4,2,1$ , the remaining order must be $b=3,\ c=1$ , giving $23154$ .

These two arrangements are indeed bad, one missing sum $6$ and the other missing sum $7$ . Hence there are $2$ bad arrangements.

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años