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2016 AMC 10B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2016 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

¿Cuántos enteros de cuatro dígitos abcd,abcd, con a≠0,a \neq 0, tienen la propiedad de que los tres enteros de dos dígitos ab<bc<cdab < bc < cd forman una sucesión aritmética creciente?
Uno de esos números es 4692,4692, donde a=4,a=4, b=6,b=6, c=9,c=9, y d=2.d=2.
How many four-digit positive integers abcd,abcd, with a≠0,a \neq 0, have the property that the three two-digit integers ab<bc<cdab < bc < cd form an increasing arithmetic sequence?
One such number is 4692,4692, where a=4,a=4, b=6,b=6, c=9,c=9, and d=2.d=2.
 9 \ 9
 15 \ 15
 16 \ 16
 17 \ 17
 20 \ 20
Respuesta: D
Conceptos:sucesión aritméticadígitosanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:
La condición de sucesión aritmética es 2bc=ab+cd2bc=ab+cd.
The arithmetic-sequence condition is 2bc=ab+cd2bc=ab+cd
Pista grande:
La ecuación de los dígitos tiene dos posibles casos de acarreo.
The digit equation has two possible carry cases
Solución:
De ab<bc<cdab<bc<cd, obtenemos a≤b≤c.a\le b\le c. La condición de sucesión aritmética es 2(10b+c)=(10a+b)+(10c+d), \begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d), \end{aligned} que se reorganiza como 10(a−2b+c)=−b+2c−d.10(a-2b+c)=-b+2c-d. El lado derecho es múltiplo de 10.10. Como b≤cb\le c y los cuatro símbolos son dígitos con b≥1,b\ge1, ese lado está entre −9-9 y 1717. Por tanto, es 00 o 10.10.
Caso 1:1: −b+2c−d=10,a=2b−c+1. \begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1. \end{aligned}
Examinamos los valores posibles de c.c.
c=6:c=6: b+d=2,2b−5=a.b+d=2, 2b-5=a. La primera ecuación da b≤2b\leq 2, pero la segunda no puede cumplirse.
c=7:c=7: b+d=4,2b−6=a.b+d=4, 2b-6=a. La primera ecuación da b≤4b\leq 4 y la segunda, b>3b > 3. Esto deja un caso: b=4.b=4.
c=8:c=8: b+d=6,2b−7=a.b+d=6, 2b-7=a. La primera ecuación da b≤6b\leq 6 y la segunda, b>3b > 3. Esto deja tres casos: b=4,5,6.b=4,5,6.
c=9:c=9: b+d=8,2b−8=a.b+d=8, 2b-8=a. La primera ecuación da b≤8b\leq 8 y la segunda, b>4b > 4. Esto deja cuatro casos: b=5,6,7,8.b=5,6,7,8. En total, este caso da los números 2470,1482,3581,5680,2593,4692,6791,8890, \begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890, \end{gathered} lo que da 88 soluciones.
Caso 2:2: −b+2c−d=0,-b+2c-d=0,2b−a−c=0,2b-a-c=0, lo que significa que los dígitos forman una sucesión aritmética.
Si la diferencia es 1,1, entonces 1≤a≤61 \leq a \leq 6, lo que da 66 soluciones.
Si la diferencia es 2,2, entonces 1≤a≤31 \leq a \leq 3, lo que da 33 soluciones. Una diferencia de al menos 33 obligaría a que d=a+3r>9.d=a+3r>9. Así, este caso da 99 soluciones.
En total, el número de soluciones es 8+9=17.8+9 = 17.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
From ab<bc<cdab<bc<cd, we have a≤b≤c.a\le b\le c. The arithmetic-sequence condition is 2(10b+c)=(10a+b)+(10c+d), \begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d), \end{aligned} which rearranges to 10(a−2b+c)=−b+2c−d.10(a-2b+c)=-b+2c-d. The right side is a multiple of 10.10. Because b≤cb\le c and all four symbols are digits with b≥1,b\ge1, it lies between −9-9 and 1717. Hence it is either 00 or 10.10.
Case 1:1: −b+2c−d=10,a=2b−c+1. \begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1. \end{aligned}
We can look at the possible values of c.c.
c=6:c=6: b+d=2,2b−5=a.b+d=2, 2b-5=a. Thus, b≤2b\leq 2 from the first equation, but can’t work for the second equation.
c=7:c=7: b+d=4,2b−6=a.b+d=4, 2b-6=a. Thus, b≤4b\leq 4 from the first equation, and b>3b > 3 from the second equation. This makes one case for b=4.b=4.
c=8:c=8: b+d=6,2b−7=a.b+d=6, 2b-7=a. Thus, b≤6b\leq 6 from the first equation, and b>3b > 3 from the second equation. This makes three cases for b=4,5,6.b=4,5,6.
c=9:c=9: b+d=8,2b−8=a.b+d=8, 2b-8=a. Thus, b≤8b\leq 8 from the first equation, and b>4b > 4 from the second equation. This makes four cases for b=5,6,7,8.b=5,6,7,8. Altogether this case gives 2470,1482,3581,5680,2593,4692,6791,8890, \begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890, \end{gathered} for 88 solutions.
Case 2:2: −b+2c−d=0,-b+2c-d=0,2b−a−c=0,2b-a-c=0, which means the digits are an arithmetic sequence.
If the difference is 1,1, then 1≤a≤61 \leq a \leq 6 makes 66 solutions.
If the difference is 2,2, then 1≤a≤31 \leq a \leq 3 makes 33 solutions. A difference of at least 33 would force d=a+3r>9.d=a+3r>9. This case therefore gives 99 solutions.
In total, the number of solutions is 8+9=17.8+9 = 17.
Thus, the correct answer is D .
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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