Question

¿Cuántos enteros de cuatro dígitos $abcd,$ con $a \neq 0,$ tienen la propiedad de que los tres enteros de dos dígitos $ab < bc < cd$ forman una sucesión aritmética creciente?

Uno de esos números es $4692,$ donde $a=4,$ $b=6,$ $c=9,$ y $d=2.$

How many four-digit integers $abcd,$ with $a \neq 0,$ have the property that the three two-digit integers $ab < bc < cd$ form an increasing arithmetic sequence?

One such number is $4692,$ where $a=4,$ $b=6,$ $c=9,$ and $d=2.$

$\ 9$

$\ 15$

$\ 16$

$\ 17$

$\ 20$

Solución:

Sabemos que $a \leq b \leq c$ al analizar $ab < bc < cd.$ Además, $bc$ es el promedio de $ab$ y $cd$ , así que $\dfrac {10a+b+10c+d}2 = 10b+c.$ Esto significa que $10(c-2b+a)=-b+2c-d,$ lo que hace que el lado derecho sea un múltiplo de $10.$ Por lo tanto, debe ser $0$ o $10$ , ya que son dígitos que satisfacen $a \leq b \leq c .$ Así, podemos analizar por casos según ese valor.

Caso 1: $-b+2c-d=10$ $2b-a-c=1$

Podemos analizar los posibles valores de $c.$

$c=6:$ $b+d=2, 2b-5=a.$ Así, $b\leq 2$ por la primera ecuación, pero no puede cumplirse para la segunda ecuación.

$c=7:$ $b+d=4, 2b-6=a.$ Así, $b\leq 4$ por la primera ecuación, y $b > 3$ por la segunda ecuación. Esto da un caso para $b=4.$

$c=8:$ $b+d=6, 2b-7=a.$ Así, $b\leq 6$ por la primera ecuación, y $b > 3$ por la segunda ecuación. Esto da tres casos para $b=4,5,6.$

$c=9:$ $b+d=8, 2b-8=a.$ Así, $b\leq 8$ por la primera ecuación, y $b > 4$ por la segunda ecuación. Esto da cuatro casos para $b=5,6,7,8.$ Este caso tiene $8$ soluciones.

Caso 2: $-b+2c-d=0,$ $2b-a-c=0,$ lo que significa que los dígitos forman una sucesión aritmética.

Si la diferencia es $1,$ entonces $1 \leq a \leq 6$ da $6$ soluciones.

Si la diferencia es $2,$ entonces $1 \leq a \leq 3$ da $3$ soluciones. Este caso da $9$ soluciones.

En total, el número de soluciones es $8+9 = 17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We know $a \leq b \leq c$ by analyzing $ab < bc < cd.$ Also, $bc$ is the average of $ab$ and $cd$ so $\dfrac {10a+b+10c+d}2 = 10b+c.$ This means that $10(c-2b+a)=-b+2c-d,$ making the right hand side a multiple of $10.$ Thus, it must be $0$ or $10$ since it is digits that satisfy $a \leq b \leq c .$ Thus, we can case on that value.

Case 1: $-b+2c-d=10$ $2b-a-c=1$

We can look at the possible values of $c.$

$c=6:$ $b+d=2, 2b-5=a.$ Thus, $b\leq 2$ from the first equation, but can't work for the second equation.

$c=7:$ $b+d=4, 2b-6=a.$ Thus, $b\leq 4$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes one case for $b=4.$

$c=8:$ $b+d=6, 2b-7=a.$ Thus, $b\leq 6$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes three cases for $b=4,5,6.$

$c=9:$ $b+d=8, 2b-8=a.$ Thus, $b\leq 8$ from the first equation, and $b > 4$ from the second equation. This makes four cases for $b=5,6,7,8.$ This case has $8$ solutions.

Case 2: $-b+2c-d=0,$ $2b-a-c=0,$ which means the digits are an arithmetic sequence.

If the difference is $1,$ then $1 \leq a \leq 6$ makes $6$ solutions.

If the difference is $2,$ then $1 \leq a \leq 3$ makes $3$ solutions. This case makes $9$ solutions.

In total, the number of solutions is $8+9 = 17.$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años