Question

Se eligen al azar tres vértices distintos de un cubo. ¿Cuál es la probabilidad de que el plano determinado por estos tres vértices contenga puntos dentro del cubo?

Three distinct vertices of a cube are chosen at random. What is the probability that the plane determined by these three vertices contains points inside the cube?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{5}{7}$

$\dfrac{3}{4}$

Solución:

Tres vértices determinan un plano que atraviesa el interior a menos que los tres estén en una sola cara.

Cada una de las $6$ caras da $\binom{4}{3} = 4$ ternas, así que $6 \cdot 4 = 24$ ternas están en una cara de un total de $\binom{8}{3} = 56$ .

La probabilidad de alcanzar el interior es $1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Three vertices determine a plane that cuts through the interior unless all three lie on a single face.

Each of the $6$ faces gives $\binom{4}{3} = 4$ triples, so $6 \cdot 4 = 24$ triples lie on a face out of $\binom{8}{3} = 56$ total.

The probability of hitting the interior is $1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años