Question

Los círculos centrados en $A$ y $B$ tienen cada uno radio $2,$ como se muestra. El punto $O$ es el punto medio de $\overline{AB},$ y $OA = 2\sqrt{2}.$ Los segmentos $OC$ y $OD$ son tangentes a los círculos centrados en $A$ y $B,$ respectivamente, y $\overline{EF}$ es una tangente común. ¿Cuál es el área de la región sombreada $ECODF$ ?

Circles centered at $A$ and $B$ each have radius $2,$ as shown. Point $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ and $OA = 2\sqrt{2}.$ Segments $OC$ and $OD$ are tangent to the circles centered at $A$ and $B,$ respectively, and $\overline{EF}$ is a common tangent. What is the area of the shaded region $ECODF?$

$\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$

$8\sqrt{2} - 4 - \pi$

$4\sqrt{2}$

$4\sqrt{2} + \dfrac{\pi}{8}$

$8\sqrt{2} - 2 - \dfrac{\pi}{2}$

Solución:

El rectángulo $ABFE$ tiene área $AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2.$

Los triángulos rectángulos $ACO$ y $BDO$ tienen cada uno hipotenusa $2\sqrt2$ y un cateto de $2,$ así que cada uno es rectángulo isósceles con área $2.$

Los ángulos $CAE$ y $DBF$ son cada uno $45^\circ,$ así que los sectores $CAE$ y $DBF$ tienen cada uno área $\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}.$

El área sombreada es $\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rectangle $ABFE$ has area $AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2.$

Right triangles $ACO$ and $BDO$ each have hypotenuse $2\sqrt2$ and a leg of $2,$ so each is isosceles right with area $2.$

Angles $CAE$ and $DBF$ are each $45^\circ,$ so sectors $CAE$ and $DBF$ each have area $\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}.$

The shaded area is $\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años