Question

Sea $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ ?

Let $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ What is the units digit of $k^2 + 2^k?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

El dígito de las unidades de $2^n$ cicla $2, 4, 8, 6,$ así que $2^{2008}$ termina en $6.$ Además $2008^2$ termina en $4.$

Por lo tanto $k$ termina en $0,$ así que $k^2$ termina en $0.$

Tanto $2008^2$ como $2^{2008}$ son múltiplos de $4,$ así que $k \equiv 0 \pmod 4,$ lo que hace que $2^k$ termine en $6.$

El dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ es $0 + 6 = 6.$

Así, la respuesta correcta es D.

The units digit of $2^n$ cycles $2, 4, 8, 6,$ so $2^{2008}$ ends in $6.$ Also $2008^2$ ends in $4.$

Thus $k$ ends in $0,$ so $k^2$ ends in $0.$

Both $2008^2$ and $2^{2008}$ are multiples of $4,$ so $k \equiv 0 \pmod 4,$ which makes $2^k$ end in $6.$

The units digit of $k^2 + 2^k$ is $0 + 6 = 6.$

Thus, the correct answer is D.