Question

Dos tetraedros regulares distintos tienen todos sus vértices entre los vértices del mismo cubo unitario. ¿Cuál es el volumen de la región formada por la intersección de los tetraedros?

Two distinct regular tetrahedra have all their vertices among the vertices of the same unit cube. What is the volume of the region formed by the intersection of the tetrahedra?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{\sqrt2}{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{\sqrt2}{6}$

Solución:

Los dos tetraedros regulares usan los dos conjuntos alternos de cuatro vértices del cubo. Cada uno tiene longitud de arista $\sqrt2$ , una diagonal de cara del cubo.

El volumen de un tetraedro regular con longitud de arista $s$ es $\dfrac{\sqrt2}{12}s^3$ . Por lo tanto, un tetraedro grande tiene volumen $\dfrac{\sqrt2}{12}(\sqrt2)^3=\dfrac13$ .

Intersecamos un tetraedro con el otro. Cada cara del primero corta del segundo un tetraedro de esquina similar al original con factor de escala $\dfrac12$ , de modo que cada pieza recortada tiene $\dfrac18$ del volumen del tetraedro grande.

Hay cuatro de estas piezas de esquina, así que la intersección tiene $1-4\cdot\dfrac18=\dfrac12$ del volumen de un tetraedro grande. Por lo tanto, el volumen de la intersección es $\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The two regular tetrahedra use the two alternating sets of four vertices of the cube. Each has edge length $\sqrt2$ , a face diagonal of the cube.

The volume of a regular tetrahedron with edge length $s$ is $\dfrac{\sqrt2}{12}s^3$ . Thus one large tetrahedron has volume $\dfrac{\sqrt2}{12}(\sqrt2)^3=\dfrac13$ .

Intersect one tetrahedron with the other. Each face of the first cuts from the second a corner tetrahedron similar to the original with scale factor $\dfrac12$ , so each cut-off piece has $\dfrac18$ of the large tetrahedron's volume.

There are four such corner pieces, so the intersection has $1-4\cdot\dfrac18=\dfrac12$ of the volume of one large tetrahedron. Hence the intersection volume is $\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16$ .

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años