Question

El interior de un cuadrilátero está limitado por las gráficas de $(x+ay)^2 = 4a^2$ y $(ax-y)^2 = a^2,$ donde $a$ es un número real positivo. ¿Cuál es el área de esta región en términos de $a,$ válida para todo $a > 0$ ?

The interior of a quadrilateral is bounded by the graphs of $(x+ay)^2 = 4a^2$ and $(ax-y)^2 = a^2,$ where $a$ is a positive real number. What is the area of this region in terms of $a,$ valid for all $a > 0?$

$\dfrac{8a^2}{(a+1)^2}$

$\dfrac{4a}{a+1}$

$\dfrac{8a}{a+1}$

$\dfrac{8a^2}{a^2+1}$

$\dfrac{8a}{a^2+1}$

Solución:

Observa que cada una de las ecuaciones da dos rectas paralelas.

$(x + ay)^2 = 4a^2$ da las dos rectas $x + ay - 2a = 0$ y $x + ay + 2a = 0.$ Ambas rectas tienen pendiente $-\dfrac{1}{a}$ .

De manera similar, $(ax-y)^2 = a^2$ da las rectas $ax - y - a = 0$ y $ax - y + a = 0.$ Estas rectas tienen pendiente $a$ .

Observa que cada par de rectas es perpendicular al otro par de rectas. Esto muestra que las ecuaciones forman un rectángulo.

Recuerda que la fórmula para la distancia $d$ entre dos rectas paralelas $\begin{cases} Ax+By+C_1=0 \\ Ax+By+C_2=0 \end{cases}$ es $d = \dfrac{\mid C_2 - C_1 \mid}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Usando esta fórmula, obtenemos que la distancia entre el primer par de rectas es $\dfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$ De manera similar, la distancia entre el segundo par de rectas es $\dfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$

Estas son las longitudes de los lados del rectángulo. Al multiplicar se obtiene el área $\dfrac{8a^2}{a^2 + 1}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that each of the equations yields two parallel lines.

$(x + ay)^2 = 4a^2$ results in the two lines $x + ay - 2a = 0$ and $x + ay + 2a = 0.$ Both of these lines have a slope of $-\dfrac{1}{a}.$

Similarly, $(ax-y)^2 = a^2$ results in the lines $ax - y - a = 0$ and $ax - y + a = 0.$ These lines have slope $a.$

Note that each pair of lines is perpendicular to the other pair of lines. This shows that the equations form a rectangle.

Recall that the formula for the distance $d$ between two parallel lines $\begin{cases} Ax+By+C_1=0 \\ Ax+By+C_2=0 \end{cases}$ is $d = \dfrac{\mid C_2 - C_1 \mid}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Using this formula, we get that the distance between the first pair of lines is $\dfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$ Similarly, the distance between the second pair of lines is $\dfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$

These are the side lengths of the rectangle. Multiplying yields the area $\dfrac{8a^2}{a^2 + 1}.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años