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2018 AMC 10A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2018 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

El triángulo ABCABC con AB=50AB=50 y AC=10AC=10 tiene área 120.120. Sea DD el punto medio de AB‾,\overline{AB}, y sea EE el punto medio de AC‾.\overline{AC}. La bisectriz del ∠BAC\angle BAC interseca a DE‾\overline{DE} y BC‾\overline{BC} en FF y G,G, respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrilátero FDBGFDBG?
Triangle ABCABC with AB=50AB=50 and AC=10AC=10 has area 120.120. Let DD be the midpoint of AB‾,\overline{AB}, and let EE be the midpoint of AC‾.\overline{AC}. The angle bisector of ∠BAC\angle BAC intersects DE‾\overline{DE} and BC‾\overline{BC} at FF and G,G, respectively. What is the area of quadrilateral FDBG?FDBG?
6060
6565
7070
7575
8080
Respuesta: D
Conceptos:teorema de la bisectrizpunto mediotrapeciorazón de áreas
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:
Usa el teorema de la bisectriz para localizar GG.
Use the angle bisector theorem to locate GG
Pista grande:
El segmento medio DEDE forma un trapecio semejante de media altura.
The midsegment DEDE makes a similar half-height trapezoid
Solución:
Sea BC=a,BG=x,GC=y,BC = a, BG = x, GC = y, y sea hh la longitud de la altura que pasa por A.A.
Por el teorema de la bisectriz, BG:GC=AB:AC=5:1,BG:GC=AB:AC=5:1, así que BG=5a6.BG=\dfrac{5a}{6}. Como DEDE es un segmento medio, DE=a2.DE=\dfrac a2. Al aplicar el mismo teorema en △ADE\triangle ADE, obtenemos DF:FE=AD:AE=5:1,DF:FE=AD:AE=5:1, de modo que DF=56DE=5a12.DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}.
La altura del trapecio es h2,\frac{h}{2}, y ah2=120.\frac{ah}{2}=120. La longitud media de sus bases es 12(5a12+5a6)=5a8.\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}. Por tanto, su área es 5a8⋅h2=58⋅ah2=75.\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75. Así, D es la respuesta correcta.
Let BC=a,BG=x,GC=y,BC = a, BG = x, GC = y, and hh be the length of the altitude through A.A.
By the Angle Bisector Theorem, BG:GC=AB:AC=5:1,BG:GC=AB:AC=5:1, so BG=5a6.BG=\dfrac{5a}{6}. Because DEDE is a midsegment, DE=a2.DE=\dfrac a2. Applying the same theorem in △ADE\triangle ADE gives DF:FE=AD:AE=5:1,DF:FE=AD:AE=5:1, so DF=56DE=5a12.DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}.
The trapezoid’s height is h2,\frac{h}{2}, and ah2=120.\frac{ah}{2}=120. Its average base length is 12(5a12+5a6)=5a8.\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}. Therefore, its area is 5a8⋅h2=58⋅ah2=75.\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75. Thus, D is the correct answer.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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