Question

El triángulo $ABC$ con $AB=50$ y $AC=10$ tiene área $120.$ Sea $D$ el punto medio de $\overline{AB},$ y sea $E$ el punto medio de $\overline{AC}.$ La bisectriz del $\angle BAC$ interseca a $\overline{DE}$ y $\overline{BC}$ en $F$ y $G,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrilátero $FDBG$ ?

Triangle $ABC$ with $AB=50$ and $AC=10$ has area $120.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}.$ The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G,$ respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG?$

$60$

$65$

$70$

$75$

$80$

Solución:

Sea $BC = a, BG = x, GC = y,$ y sea $h$ la longitud de la altura que pasa por $A.$

Por el teorema de la bisectriz, obtenemos que $\dfrac{50}{x} = \dfrac{10}{y},$ donde $y = a - x.$ Sustituyendo se obtiene $BG = \frac{5a}{6}.$ También sabemos que $DF = \frac{5a}{12}$ por triángulos semejantes.

Nota que la altura del trapecio es $\frac{1}{2}h,$ y $\frac{ah}{2} = 120.$ El área del trapecio es $\dfrac{5a}{8} \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{ah}{2} = 75.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $BC = a, BG = x, GC = y,$ and $h$ be the length of the altitude through $A.$

By the angle bisector theorem, we get that $\dfrac{50}{x} = \dfrac{10}{y},$ where $y = a - x.$ Substituting yields $BG = \frac{5a}{6}.$ We also know that $DF = \frac{5a}{12}$ due to similar triangles.

Note that the height of the trapezoid is $\frac{1}{2}h,$ and $\frac{ah}{2} = 120.$ The area of the trapezoid is $\dfrac{5a}{8} \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{ah}{2} = 75.$ Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años