Question

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son $x+y,$ $x-y,$ $xy,$ y $x/y,$ en ese orden. ¿Cuál es el quinto término?

The first four terms in an arithmetic sequence are $x+y,$ $x-y,$ $xy,$ and $x/y,$ in that order. What is the fifth term?

$-\dfrac{15}{8}$

$-\dfrac{6}{5}$

$0$

$\dfrac{27}{20}$

$\dfrac{123}{40}$

Solución:

La diferencia común es $-2y,$ así que el tercer y el cuarto términos deben ser $x-3y$ y $x-5y.$ Por lo tanto $xy=x-3y$ y $\dfrac{x}{y}=x-5y.$

De $\dfrac{x}{y}=x-5y$ obtenemos $x=xy-5y^2,$ y al sustituir $xy=x-3y$ se obtiene $-3y-5y^2=0.$ Como $y\ne 0,$ $y=-\dfrac35$ y entonces $x=-\dfrac98.$

El quinto término es $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The common difference is $-2y,$ so the third and fourth terms must be $x-3y$ and $x-5y.$ Thus $xy=x-3y$ and $\dfrac{x}{y}=x-5y.$

From $\dfrac{x}{y}=x-5y$ we get $x=xy-5y^2,$ and substituting $xy=x-3y$ gives $-3y-5y^2=0.$ Since $y\ne 0,$ $y=-\dfrac35$ and then $x=-\dfrac98.$

The fifth term is $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.$

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años