Question

¿Cuántos enteros positivos $n$ satisfacen $\dfrac{n+1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ?

(Recuerda que $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero que no excede a $x$ .)

How many positive integers $n$ satisfy $\dfrac{n+1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$

(Recall that $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

$2$

$4$

$6$

$30$

$32$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $k=\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor.$ La ecuación da $n=70k-1000$ . Además, por la definición de la función piso, $k^2\le n<(k+1)^2.$ Sustituyendo $n=70k-1000$ , obtenemos $k^2\le 70k-1000<(k+1)^2.$

La desigualdad de la izquierda es $\begin{aligned} &k^2-70k+1000\le0 \\ &\quad \Longrightarrow (k-20)(k-50)\le0, \end{aligned}$ así que $20\le k\le50$ . La desigualdad de la derecha es $\begin{aligned} &70k-1000<k^2+2k+1 \\ &\quad \Longrightarrow k^2-68k+1001>0. \end{aligned}$ Las raíces de $k^2-68k+1001$ son $34\pm\sqrt{155}$ , que son aproximadamente $21.55$ y $46.45$ . Así, junto con $20\le k\le50$ , los valores enteros posibles son $k=20,21,47,48,49,50.$ Hay $6$ tales valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $k=\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor.$ The equation gives $n=70k-1000$ . Also, by the definition of the floor function, $k^2\le n<(k+1)^2.$ Substituting $n=70k-1000$ , we get $k^2\le 70k-1000<(k+1)^2.$

The left inequality is $\begin{aligned} &k^2-70k+1000\le0 \\ &\quad \Longrightarrow (k-20)(k-50)\le0, \end{aligned}$ so $20\le k\le50$ . The right inequality is $\begin{aligned} &70k-1000<k^2+2k+1 \\ &\quad \Longrightarrow k^2-68k+1001>0. \end{aligned}$ The roots of $k^2-68k+1001$ are $34\pm\sqrt{155}$ , which are approximately $21.55$ and $46.45$ . Thus, together with $20\le k\le50$ , the possible integer values are $k=20,21,47,48,49,50.$ There are $6$ such values.

Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años