Question

Sea $f$ una función para la cual $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Halla la suma de todos los valores de $z$ para los cuales $f(3z) = 7.$

Let $f$ be a function for which $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7.$

$-\dfrac13$

$-\dfrac19$

$0$

$\dfrac59$

$\dfrac53$

Solución:

Para evaluar $f(3z),$ toma $\dfrac{x}{3} = 3z,$ de modo que $x = 9z.$ Entonces $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}$

Igualando esto a $7$ se obtiene $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

Por la fórmula de la suma de raíces, la suma de los valores de $z$ es $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

To evaluate $f(3z),$ set $\dfrac{x}{3} = 3z,$ so $x = 9z.$ Then $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}$

Setting this equal to $7$ gives $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of $z$ is $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19.$

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 10 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años