Question

Un partido de baloncesto de secundaria entre los Raiders y los Wildcats estaba empatado al final del primer cuarto. El número de puntos anotados por los Raiders en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión geométrica creciente, y el número de puntos anotados por los Wildcats en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión aritmética creciente. Al final del cuarto período, los Raiders habían ganado por un punto. Ninguno de los dos equipos anotó más de $100$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los dos equipos en la primera mitad?

A high school basketball game between the Raiders and Wildcats was tied at the end of the first quarter. The number of points scored by the Raiders in each of the four quarters formed an increasing geometric sequence, and the number of points scored by the Wildcats in each of the four quarters formed an increasing arithmetic sequence. At the end of the fourth quarter, the Raiders had won by one point. Neither team scored more than $100$ points. What was the total number of points scored by the two teams in the first half?

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

Solución:

La puntuación del primer cuarto de cada equipo es $a.$ Los Raiders tienen razón común $r$ y los Wildcats tienen diferencia común $d.$

Escribe $r=m/n$ en su forma más simple. Como las puntuaciones de los cuatro cuartos de los Raiders son enteras, $a=n^3A$ para algún entero positivo $A$ , y su total es $A(n^3+n^2m+nm^2+m^3)\le100$ . Por lo tanto, las únicas razones posibles son $\dfrac{3}{2},2,3,4$ .

Para $r=\dfrac{3}{2}$ o $r=4$ , los únicos totales posibles de los Raiders dan totales de los Wildcats que no son de la forma $4a+6d$ . Para $r=3$ , la ecuación $40a=4a+6d+1$ es imposible módulo $6$ .

Para $r=2$ , la ecuación es $15a=4a+6d+1$ , así que $11a=6d+1$ . La única solución positiva con total a lo sumo $100$ es $a=5,d=9$ .

El total de la primera mitad es $5+10+5+14=34.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the first-quarter score for each team be $a.$ Let the Raiders have common ratio $r$ and let the Wildcats have common difference $d.$

Write $r=m/n$ in lowest terms. Since the Raiders' four quarter scores are integers, $a=n^3A$ for some positive integer $A$ , and their total is $A(n^3+n^2m+nm^2+m^3)\le100$ . Thus the only possible ratios are $\dfrac{3}{2},2,3,4$ .

For $r=\dfrac{3}{2}$ or $r=4$ , the only possible Raiders totals give Wildcats totals that are not of the form $4a+6d$ . For $r=3$ , the equation $40a=4a+6d+1$ is impossible modulo $6$ .

For $r=2$ , the equation is $15a=4a+6d+1$ , so $11a=6d+1$ . The only positive solution with total at most $100$ is $a=5,d=9$ .

The first-half total is $5+10+5+14=34.$

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años