Question

Sea

\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8}. \end{aligned}

¿Cuántos de los valores

P(2022),

P(2023),

P(2024),

y

P(2025)

son enteros?

Let

\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8}. \end{aligned}

How many of the values of

P(2022),

P(2023),

P(2024),

and

P(2025)

are integers?

0

1

2

3

4

Sobre el denominador común

8,

P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}

.

Over the common denominator

8,

P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}

Revisa

4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8

por separado para

m

par e impar.

Check

4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8

separately for even and odd

m

Pon todo sobre

8:

P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}.

Si

m

es par, todo término de arriba es divisible entre

8.

Si

m

es impar, entonces

m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1

y

4m \equiv 4 \pmod 8,

así que el numerador es

1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8.

De cualquier forma

P(m)

es un entero, así que los

4

valores son enteros. Por lo tanto, la respuesta es E.

Put everything over

8:

P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}.

If

m

is even, every term up top is divisible by

8.

If

m

is odd, then

m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1

and

4m \equiv 4 \pmod 8,

so the numerator is

1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8.

Either way

P(m)

is an integer, so all

4

values are integers. Therefore, the answer is E.