Question

El número obtenido a partir de los últimos dos dígitos distintos de cero de $90!$ es igual a $n.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The number obtained from the last two nonzero digits of $90!$ is equal to $n.$ What is $n?$

$12$

$32$

$48$

$52$

$68$

Solución:

El número de ceros finales en $90!$ es $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Sea $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

Todavía quedan más de dos factores de $2$ después de eliminar $10^{21},$ así que $N\equiv0 \pmod4.$

Sea $A$ el producto de los factores de $90!$ no divisibles entre $5,$ y sea $B$ el producto de los factores divisibles entre $5.$ Agrupando los residuos módulo $25$ se obtiene $A\equiv1\pmod{25}$ y $\dfrac{B}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$

Por lo tanto $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Como $2^{21}\equiv2\pmod{25},$ $N=\dfrac{90!}{5^{21}\cdot2^{21}}$ $\equiv-13$ $\equiv12\pmod{25}.$

El número congruente con $0\pmod4$ y $12\pmod{25}$ es $12\pmod{100},$ así que los últimos dos dígitos distintos de cero forman $12.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The number of trailing zeroes in $90!$ is $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Let $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

There are still more than two factors of $2$ left after removing $10^{21},$ so $N\equiv0 \pmod4.$

Let $A$ be the product of factors of $90!$ not divisible by $5,$ and let $B$ be the product of the factors divisible by $5.$ Grouping residues modulo $25$ gives $A\equiv1\pmod{25}$ and $\dfrac{B}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$

Therefore $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Since $2^{21}\equiv2\pmod{25},$ $N=\dfrac{90!}{5^{21}\cdot2^{21}}$ $\equiv-13$ $\equiv12\pmod{25}.$

The number congruent to $0\pmod4$ and $12\pmod{25}$ is $12\pmod{100},$ so the last two nonzero digits form $12.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años