Question

Un cubo se construye con $4$ cubos unitarios blancos y $4$ cubos unitarios azules. ¿De cuántas maneras diferentes se puede construir el cubo $2 \times 2 \times 2$ usando estos cubos más pequeños? (Dos construcciones se consideran iguales si una se puede rotar para coincidir con la otra.)

A cube is constructed from $4$ white unit cubes and $4$ blue unit cubes. How many different ways are there to construct the $2 \times 2 \times 2$ cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Este es el número de maneras de elegir cuáles $4$ de los $8$ vértices del cubo son azules, salvo rotación del cubo. Usamos el lema de Burnside sobre las $24$ rotaciones del cubo.

La identidad fija $\binom84=70$ coloraciones. Las $6$ rotaciones de un cuarto de vuelta sobre caras fijan cada una $2$ . Las $3$ rotaciones de media vuelta sobre caras fijan cada una $6$ . Las $8$ rotaciones alrededor de vértices opuestos fijan cada una $4$ . Las $6$ rotaciones de media vuelta alrededor de aristas opuestas fijan cada una $6$ .

Así, el número de construcciones no equivalentes es $\begin{gathered} \frac{70+6\cdot2+3\cdot6+8\cdot4+6\cdot6}{24}\\ =7. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta es A.

This is the number of ways to choose which $4$ of the $8$ cube vertices are blue, up to cube rotation. Use Burnside's lemma on the $24$ rotations of the cube.

The identity fixes $\binom84=70$ colorings. The $6$ quarter-turn face rotations each fix $2$ . The $3$ half-turn face rotations each fix $6$ . The $8$ rotations about opposite vertices each fix $4$ . The $6$ half-turn rotations about opposite edges each fix $6$ .

Thus the number of inequivalent constructions is $\begin{gathered} \frac{70+6\cdot2+3\cdot6+8\cdot4+6\cdot6}{24}\\ =7. \end{gathered}$

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Fall Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años