Question

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo de radio $200\sqrt{2}$ . Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud $200$ . ¿Cuál es la longitud del cuarto lado?

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of the fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

Solución:

Sea $O$ el centro del círculo, y sea que $AD$ corte a $OB$ y $OC$ en $E$ y $F$ . Las cuerdas iguales $AB,BC,CD$ dan ángulos centrales iguales.

De las relaciones de ángulos iguales, $\triangle OAB\sim\triangle ABE$ . Como $OA=OB=200\sqrt{2}$ y $AB=200$ , la semejanza da $AE=AB=200$ y $BE=100\sqrt{2}$ . De manera similar, $FD=CD=200$ .

En el triángulo $OBC$ , la misma proporción da $EF=\frac12BC=100$ . Por lo tanto $\begin{aligned} AD &= AE+EF+FD \\ &= 200+100+200 \\ &= 500. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $O$ be the circle's center, and let $AD$ meet $OB$ and $OC$ at $E$ and $F$ . Equal chords $AB,BC,CD$ give equal central angles.

From the equal-angle relationships, $\triangle OAB\sim\triangle ABE$ . Since $OA=OB=200\sqrt{2}$ and $AB=200$ , the similarity gives $AE=AB=200$ and $BE=100\sqrt{2}$ . Similarly, $FD=CD=200$ .

In triangle $OBC$ , the same scaling gives $EF=\frac12BC=100$ . Therefore $\begin{aligned} AD &= AE+EF+FD \\ &= 200+100+200 \\ &= 500. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años