Question

¿Cuántas ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros positivos satisfacen $\text{lcm}(x,y) = 72,$ $\text{lcm}(x,z) = 600,$ y $\text{lcm}(y,z)=900$ ?

How many ordered triples $(x,y,z)$ of positive integers satisfy $\text{lcm}(x,y) = 72,$ $\text{lcm}(x,z) = 600,$ and $\text{lcm}(y,z)=900?$

$15$

$16$

$24$

$27$

$64$

Solución:

Factoriza los mínimos comunes múltiplos dados: $\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}$ Como $\operatorname{lcm}(x,y)$ no tiene factor $5$ , ni $x$ ni $y$ tienen factor $5$ , y $z$ debe contener $5^2$ .

Escribe $x=2^a3^b$ , $y=2^c3^d$ , y $z=2^e3^f5^2$ . La potencia de $3$ en $\operatorname{lcm}(y,z)$ obliga a $d=2$ , y la potencia de $2$ en $\operatorname{lcm}(x,z)$ obliga a $a=3$ .

Las condiciones independientes restantes son $\max(b,f)=1$ y $\max(c,e)=2$ . Estas tienen $3$ y $5$ opciones ordenadas, respectivamente, así que hay $3\cdot5=15$ ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factor the given least common multiples: $\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}$ Since $\operatorname{lcm}(x,y)$ has no factor of $5$ , neither $x$ nor $y$ has a factor of $5$ , and $z$ must contain $5^2$ .

Write $x=2^a3^b$ , $y=2^c3^d$ , and $z=2^e3^f5^2$ . The power of $3$ in $\operatorname{lcm}(y,z)$ forces $d=2$ , and the power of $2$ in $\operatorname{lcm}(x,z)$ forces $a=3$ .

The remaining independent conditions are $\max(b,f)=1$ and $\max(c,e)=2$ . These have $3$ and $5$ ordered choices, respectively, so there are $3\cdot5=15$ triples.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años