Question

Sean $R,$ $S,$ y $T$ cuadrados que tienen sus vértices en puntos reticulares (es decir, puntos cuyas coordenadas son ambas enteras) en el plano de coordenadas, junto con sus interiores.

El borde inferior de cada cuadrado está sobre el eje $x$ . El borde izquierdo de $R$ y el borde derecho de $S$ están sobre el eje $y$ , y $R$ contiene $\dfrac{9}{4}$ veces tantos puntos reticulares como $S.$ Los dos vértices superiores de $T$ están en $R \cup S,$ y $T$ contiene $\dfrac{1}{4}$ de los puntos reticulares contenidos en $R \cup S.$ Ve la figura (no está dibujada a escala).

La fracción de puntos reticulares en $S$ que están en $S \cap T$ es $27$ veces la fracción de puntos reticulares en $R$ que están en $R \cap T.$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de la longitud de arista de $R$ más la longitud de arista de $S$ más la longitud de arista de $T$ ?

Let $R,$ $S,$ and $T$ be squares that have vertices at lattice points (i.e., points whose coordinates are both integers) in the coordinate plane, together with their interiors.

The bottom edge of each square is on the $x$ -axis. The left edge of $R$ and the right edge of $S$ are on the $y$ -axis, and $R$ contains $\dfrac{9}{4}$ as many lattice points as does $S.$ The top two vertices of $T$ are in $R \cup S,$ and $T$ contains $\dfrac{1}{4}$ of the lattice points contained in $R \cup S.$ See the figure (not drawn to scale).

The fraction of lattice points in $S$ that are in $S \cap T$ is $27$ times the fraction of lattice points in $R$ that are in $R \cap T.$ What is the minimum possible value of the edge length of $R$ plus the edge length of $S$ plus the edge length of $T?$

$336$

$337$

$338$

$339$

$340$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $r$ el número de puntos reticulares sobre el lado de $R.$ Análogamente define $s$ para $S$ y $t$ para $T.$ Nota que el número de puntos reticulares en un rectángulo es el producto del número de puntos reticulares a lo largo de su ancho y del número de puntos reticulares a lo largo de su largo.

La primera condición nos da que $r^2 = \dfrac{9}{4} \cdot s^2$ $r = \dfrac{3}{2} \cdot s \tag*{(1)}$

El número de puntos reticulares en $R \cup S$ es la suma de los puntos reticulares de cada una de las regiones, pero hay solapamiento a lo largo del eje $y$ donde $S$ lo toca.

La segunda condición, por lo tanto, da $t^2 = \dfrac{1}{4}(r^2 + s^2 - s)$ $t^2 = \dfrac{1}{4}(\dfrac{9}{4} \cdot s^2 + s^2 - s)$ $t^2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{13s^2 - 4s}{4}$ $16t^2 = s(13s - 4).$ Por $(1),$ obtenemos que $s$ es múltiplo de $2.$ Podemos sustituir $s$ por $2j$ para obtener $16t^2 = 2j(26j - 4)$ $4t^2 = j(13j - 2).$ Para que el producto sea divisible entre $4,$ $j$ debe ser divisible entre $2.$ Podemos sustituir de nuevo $j$ por $2k$ para obtener $4t^2 = 2k(26k - 2)$ $t^2 = k(13k - 1) \tag*{(2)}$

Sea $x$ el número de puntos reticulares a lo largo de la base del rectángulo formado por $S \cap T$ y $y$ el número de puntos reticulares a lo largo de la base del rectángulo formado por $R \cap T.$

Usando estas variables, obtenemos que el número de puntos reticulares en $S \cap T$ es $xt$ y en $R \cap T$ es $yt.$

La tercera condición nos da que $\dfrac{xt}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{yt}{r^2}$ $\dfrac{x}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{y}{\dfrac{9}{4} s^2}$ $x = 12y.$

También sabemos que $t = x + y - 1$ (teniendo en cuenta el solapamiento), y esto da $t = 13y - 1 \tag*{(3)}$

$(3)$ nos da que $\begin{gathered} t \equiv -1 \pmod{13}, \\ t^2 \equiv 1 \pmod{13}. \end{gathered}$

Sin embargo, por $(2),$ obtenemos que $t^2 \equiv -k \pmod{13}$ $k \equiv -1 \pmod{13}.$

Por $(2),$ también obtenemos que $k$ es un cuadrado perfecto, ya que es primo relativo con $13k - 1,$ y su producto debe ser un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, $k$ debe ser un cuadrado perfecto que satisface $k\equiv-1\pmod{13}$ . Los cuadrados positivos más pequeños $1,4,9,16$ no satisfacen esta congruencia, mientras que $k=25$ sí, así que $25$ es el menor valor posible.

A partir de este valor de $k,$ obtenemos que $j = 2 \cdot 25 = 50,$ $s = 2 \cdot 50 = 100,$ y $r = \dfrac{3}{2} \cdot 100 = 150.$ También podemos hallar que $t^2 = 25(13 \cdot 25 - 1) = 25 \cdot 324$ $t = 5 \cdot 18 = 90.$ Por lo tanto, $r + s + t = 340.$ Sin embargo, la pregunta pedía la suma de las longitudes de los lados. Las longitudes de los lados de los cuadrados son $1$ menos que el número de puntos reticulares sobre el lado, así que hay que restar $3.$

Por lo tanto, la respuesta buscada es $340 - 3 = 337.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $r$ be the number of lattice points on the side length of $R.$ Similarly define $s$ for $S$ and $t$ for $T.$ Note that the number of lattice points in a rectangle is the product of the number of lattice points along its width and the number of lattice points along its length.

The first conditions gives us that $r^2 = \dfrac{9}{4} \cdot s^2$ $r = \dfrac{3}{2} \cdot s \tag*{(1)}$

The number of lattice points in $R \cup S$ is the sum of the lattice points in each of the regions, but there is overlap along the $y$ -axis where $S$ touches it.

The second condition, therefore, yields $t^2 = \dfrac{1}{4}(r^2 + s^2 - s)$ $t^2 = \dfrac{1}{4}(\dfrac{9}{4} \cdot s^2 + s^2 - s)$ $t^2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{13s^2 - 4s}{4}$ $16t^2 = s(13s - 4).$ From $(1),$ we get that $s$ is a multiple of $2.$ We can substitute $s$ with $2j$ to get $16t^2 = 2j(26j - 4)$ $4t^2 = j(13j - 2).$ For the product to be divisible by $4,$ $j$ must be divisible by $2.$ We can again substitute $j$ with $2k$ to get $4t^2 = 2k(26k - 2)$ $t^2 = k(13k - 1) \tag*{(2)}$

Let $x$ be the number of lattice points along the bottom of the rectangle formed by $S \cap T$ and $y$ be the number of lattice points along the bottom of the rectangle formed by $R \cap T.$

Using these variable, we get that the number of lattice points in $S \cap T$ is $xt$ and in $R \cap T$ is $yt.$

The third condition gives us that $\dfrac{xt}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{yt}{r^2}$ $\dfrac{x}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{y}{\dfrac{9}{4} s^2}$ $x = 12y.$

We also know that $t = x + y - 1$ (accounting for overlap), and this yields $t = 13y - 1 \tag*{(3)}$

$(3)$ gives us that $\begin{gathered} t \equiv -1 \pmod{13}, \\ t^2 \equiv 1 \pmod{13}. \end{gathered}$

However, by $(2),$ we get that $t^2 \equiv -k \pmod{13}$ $k \equiv -1 \pmod{13}.$

By $(2),$ we also get that $k$ is a perfect square since it is relatively prime to $13k - 1,$ and they must multiply to a perfect square.

Thus $k$ must be a perfect square satisfying $k\equiv-1\pmod{13}$ . The smaller positive squares $1,4,9,16$ do not satisfy this congruence, while $k=25$ does, so $25$ is the least possible value.

From this value of $k,$ we get that $j = 2 \cdot 25 = 50,$ $s = 2 \cdot 50 = 100,$ and $r = \dfrac{3}{2} \cdot 100 = 150.$ We can also find that $t^2 = 25(13 \cdot 25 - 1) = 25 \cdot 324$ $t = 5 \cdot 18 = 90.$ Therefore, $r + s + t = 340.$ The question, however, asked for the sum of the side lengths. The side lengths of the squares are $1$ less than the number of lattice points on the side, so we have to subtract $3.$

Therefore, the desired answer is $340 - 3 = 337.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años