Question

Sea $S$ un cuadrado de lado $1.$ Se eligen dos puntos de forma independiente y al azar sobre los lados de $S.$ La probabilidad de que la distancia en línea recta entre los puntos sea al menos $\dfrac{1}{2}$ es $\dfrac{a-b\pi}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos con $\gcd(a,b,c)=1.$ ¿Cuál es $a+b+c$ ?

Let $S$ be a square of side length $1.$ Two points are chosen independently at random on the sides of $S.$ The probability that the straight-line distance between the points is at least $\dfrac{1}{2}$ is $\dfrac{a-b\pi}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers with $\gcd(a,b,c)=1.$ What is $a+b+c?$

$59$

$60$

$61$

$62$

$63$

Solución:

Fija uno de los dos puntos. El segundo punto está en el mismo lado con probabilidad $\frac14$ , en un lado adyacente con probabilidad $\frac12$ y en el lado opuesto con probabilidad $\frac14$ .

En el mismo lado, dos coordenadas $a,b\in[0,1]$ están a distancia al menos $\frac12$ cuando $|a-b|\ge\frac12$ . Esta región consiste en dos triángulos rectángulos con área total $\frac14$ .

En lados adyacentes, la distancia tiene la forma $\sqrt{a^2+b^2}$ . La región de fracaso es un cuarto de círculo de radio $\frac12$ , así que la probabilidad de éxito es $1-\frac{\pi}{16}$ .

En lados opuestos, la distancia siempre es al menos $1$ , así que la probabilidad de éxito es $1$ . Por lo tanto, la probabilidad buscada es $\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $a+b+c=26+1+32=59$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Fix one of the two points. The second point is on the same side with probability $\frac14$ , on an adjacent side with probability $\frac12$ , and on the opposite side with probability $\frac14$ .

On the same side, two coordinates $a,b\in[0,1]$ are at distance at least $\frac12$ when $|a-b|\ge\frac12$ . This region consists of two right triangles with total area $\frac14$ .

On adjacent sides, the distance has the form $\sqrt{a^2+b^2}$ . The failing region is a quarter circle of radius $\frac12$ , so the success probability is $1-\frac{\pi}{16}$ .

On opposite sides, the distance is always at least $1$ , so the success probability is $1$ . Therefore the desired probability is $\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32}. \end{aligned}$ Hence $a+b+c=26+1+32=59$ .

Thus, A is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años