Question

Un pentágono regular de área $\sqrt{5} + 1$ se imprime en papel y se recorta. Los cinco vértices del pentágono se doblan hacia el centro del pentágono, creando un pentágono más pequeño. ¿Cuál es el área del nuevo pentágono?

A regular pentagon with area $\sqrt{5} + 1$ is printed on paper and cut out. The five vertices of the pentagon are folded into the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

$4 - \sqrt{5}$

$\sqrt{5} - 1$

$8 - 3\sqrt{5}$

$\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{3}$

Solución:

El pentágono original tiene circunradio $R.$ Doblar un vértice hacia el centro pliega a lo largo de la mediatriz del segmento centro-vértice, una recta a distancia $\tfrac{R}{2}$ del centro. Esos cinco pliegues delimitan el nuevo pentágono regular, cuya apotema es $\tfrac{R}{2}$ (la apotema original era $R\cos 36^\circ$ ). Así que el nuevo pentágono es semejante con razón $\tfrac{R/2}{R\cos 36^\circ},$ y su área es el área anterior por $\left(\tfrac{1}{2\cos 36^\circ}\right)^2.$ Sustituye $\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4}:$ el factor se vuelve $\tfrac{2}{3+\sqrt5} = \tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ Así que la nueva área es $(\sqrt5+1)\cdot\tfrac{3-\sqrt5}{2} = \sqrt{5} - 1.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the original pentagon have circumradius $R.$ Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the center-to-vertex segment, a line at distance $\tfrac{R}{2}$ from the center. Those five creases bound the new regular pentagon, whose apothem is $\tfrac{R}{2}$ (the original apothem was $R\cos 36^\circ$ ). So the new pentagon is similar with ratio $\tfrac{R/2}{R\cos 36^\circ},$ and its area is the old area times $\left(\tfrac{1}{2\cos 36^\circ}\right)^2.$ Plug in $\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4}:$ the factor becomes $\tfrac{2}{3+\sqrt5} = \tfrac{3-\sqrt5}{2}.$ So the new area is $(\sqrt5+1)\cdot\tfrac{3-\sqrt5}{2} = \sqrt{5} - 1.$ Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años