Question

Un pentágono regular de área

1 + \sqrt{5}

se imprime en papel y se recorta. Los cinco vértices del pentágono se doblan hacia el centro del pentágono, creando un pentágono más pequeño. ¿Cuál es el área del nuevo pentágono?

A regular pentagon with area

1 + \sqrt{5}

is printed on paper and cut out. All five vertices are folded to the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

4 - \sqrt{5}

\sqrt{5} - 1

8 - 3\sqrt{5}

\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}

\dfrac{2 + \sqrt{5}}{3}

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular plegado de papel semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Doblar un vértice hacia el centro pliega a lo largo de la mediatriz del segmento de ese vértice al centro, una recta a distancia

\tfrac{R}{2}

del centro.

Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from that vertex to the center, a line at distance

\tfrac{R}{2}

from the center

Pista grande:

La apotema

\tfrac{R}{2}

reemplaza a

R\cos36^\circ,

así que el área escala por

\left(\tfrac{1}{2\cos36^\circ}\right)^2;

usa

\cos36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4}

.

Apothem

\tfrac{R}{2}

replaces

R\cos36^\circ,

so the area scales by

\left(\tfrac{1}{2\cos36^\circ}\right)^2;

use

\cos36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4}

Solución:

El pentágono original tiene circunradio

R.

Doblar un vértice hacia el centro pliega a lo largo de la mediatriz del segmento centro-vértice, una recta a distancia

\tfrac{R}{2}

del centro. Esos cinco pliegues delimitan el nuevo pentágono regular, cuya apotema es

\tfrac{R}{2}

(la apotema original era

R\cos 36^\circ

). Así que el nuevo pentágono es semejante con razón

\frac{1}{2\cos 36^\circ},

y su área es el área anterior por

\left(\tfrac{1}{2\cos 36^\circ}\right)^2.

Sustituye

\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4}:

el factor se vuelve

\tfrac{2}{3+\sqrt5} = \tfrac{3-\sqrt5}{2}.

Así que la nueva área es

(\sqrt5+1)\cdot\tfrac{3-\sqrt5}{2} = \sqrt{5} - 1.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the original pentagon have circumradius

R.

Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the center-to-vertex segment, a line at distance

\tfrac{R}{2}

from the center. Those five creases bound the new regular pentagon, whose apothem is

\tfrac{R}{2}

(the original apothem was

R\cos 36^\circ

). So the new pentagon is similar with ratio

\frac{1}{2\cos 36^\circ},

and its area is the old area times

\left(\tfrac{1}{2\cos 36^\circ}\right)^2.

Plug in

\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4}:

the factor becomes

\tfrac{2}{3+\sqrt5} = \tfrac{3-\sqrt5}{2}.

So the new area is

(\sqrt5+1)\cdot\tfrac{3-\sqrt5}{2} = \sqrt{5} - 1.

Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años