Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2015 AMC 10B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2015 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Una caja rectangular mide a×b×c,a \times b \times c, donde a,a, b,b, y cc son enteros y 1≤a≤b≤c.1\leq a \leq b \leq c. El volumen y el área de la superficie de la caja son numéricamente iguales. ¿Cuántas ternas ordenadas (a,b,c)(a,b,c) son posibles?
A rectangular box measures a×b×c,a \times b \times c, where a,a, b,b, and cc are integers and 1≤a≤b≤c.1\leq a \leq b \leq c. The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples (a,b,c)(a,b,c) are possible?
4 4
10 10
12 12
21 21
26 26
Respuesta: B
Conceptos:Ecuación diofánticaTruco de factorización favorito de Simonanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2010
Pista pequeña:
Parte de abc=2(ab+ac+bc)abc=2(ab+ac+bc).
Start from abc=2(ab+ac+bc)abc=2(ab+ac+bc)
Pista grande:
Fija a≤6a\le6 y factoriza la ecuación restante.
Fix a≤6a\le6 and factor the remaining equation
Solución:
La condición es abc=2(ab+ac+bc).abc=2(ab+ac+bc). Como abc≤6bcabc\le6bc, tenemos a≤6a\le6. Además a=1a=1 y a=2a=2 no dan soluciones positivas, así que probamos a=3,4,5,6a=3,4,5,6.
Para a=3a=3, (b−6)(c−6)=36(b-6)(c-6)=36, lo que da (b,c)=(7,42),(b,c)=(7,42), (8,24),(8,24), (9,18),(9,18), (10,15),(10,15), (12,12)(12,12). Para a=4a=4, (b−4)(c−4)=16(b-4)(c-4)=16, lo que da (5,20),(6,12),(8,8)(5,20),(6,12),(8,8).
Para a=5a=5, (3b−10)(3c−10)=100(3b-10)(3c-10)=100, y la única solución con a≤b≤ca\le b\le c es (b,c)=(5,10)(b,c)=(5,10). Para a=6a=6, (b−3)(c−3)=9(b-3)(c-3)=9, y la única solución con a≤b≤ca\le b\le c es (6,6)(6,6).
El número total de ternas es 5+3+1+1=105+3+1+1=10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The condition is abc=2(ab+ac+bc).abc=2(ab+ac+bc). Since abc≤6bcabc\le6bc, we have a≤6a\le6. Also a=1a=1 and a=2a=2 give no positive solutions, so test a=3,4,5,6a=3,4,5,6.
For a=3a=3, (b−6)(c−6)=36(b-6)(c-6)=36, giving (b,c)=(7,42),(b,c)=(7,42), (8,24),(8,24), (9,18),(9,18), (10,15),(10,15), (12,12)(12,12). For a=4a=4, (b−4)(c−4)=16(b-4)(c-4)=16, giving (5,20),(6,12),(8,8)(5,20),(6,12),(8,8).
For a=5a=5, (3b−10)(3c−10)=100(3b-10)(3c-10)=100, and the only solution with a≤b≤ca\le b\le c is (b,c)=(5,10)(b,c)=(5,10). For a=6a=6, (b−3)(c−3)=9(b-3)(c-3)=9, and the only solution with a≤b≤ca\le b\le c is (6,6)(6,6).
The total number of triples is 5+3+1+1=105+3+1+1=10.
Thus, the correct answer is B.
Problema 24#24
Examen completo

El Problema 25 en otros años

2000 AMC 10 · 2001 AMC 10 · 2002 AMC 10A · 2002 AMC 10B · 2003 AMC 10A · 2003 AMC 10B · 2004 AMC 10A · 2004 AMC 10B · 2005 AMC 10A · 2005 AMC 10B · 2006 AMC 10A · 2006 AMC 10B · 2007 AMC 10A · 2007 AMC 10B · 2008 AMC 10A · 2008 AMC 10B · 2009 AMC 10A · 2009 AMC 10B · 2010 AMC 10A · 2010 AMC 10B · 2011 AMC 10A · 2011 AMC 10B · 2012 AMC 10A · 2012 AMC 10B · 2013 AMC 10A · 2013 AMC 10B · 2014 AMC 10A · 2014 AMC 10B · 2015 AMC 10A · 2016 AMC 10A · 2016 AMC 10B · 2017 AMC 10A · 2017 AMC 10B · 2018 AMC 10A · 2018 AMC 10B · 2019 AMC 10A · 2019 AMC 10B · 2020 AMC 10A · 2020 AMC 10B · 2021 AMC 10A Spring · 2021 AMC 10B Spring · 2021 AMC 10A Fall · 2021 AMC 10B Fall · 2022 AMC 10A · 2022 AMC 10B · 2023 AMC 10A · 2023 AMC 10B · 2024 AMC 10A · 2024 AMC 10B · 2025 AMC 10A · 2025 AMC 10B