Question

El año pasado Isabella presentó $7$ exámenes de matemáticas y obtuvo $7$ calificaciones distintas, cada una un entero entre $91$ y $100,$ inclusive. Después de cada examen notó que el promedio de sus calificaciones era un entero. Su calificación en el séptimo examen fue $95.$ ¿Cuál fue su calificación en el sexto examen?

Last year Isabella took $7$ math tests and received $7$ different scores, each an integer between $91$ and $100,$ inclusive. After each test she noticed that the average of her test scores was an integer. Her score on the seventh test was $95.$ What was her score on the sixth test?

$92$

$94$

$96$

$98$

$100$

Solución:

Sea $S$ la suma de las siete calificaciones. Como los siete promedios fueron enteros, $S$ es divisible entre $7$ . Además, las siete calificaciones distintas están entre $91$ y $100$ , así que $91+92+\cdots+97$ $\le S\le$ $94+95+\cdots+100$ .

Así, $658\le S\le 679$ , y los posibles múltiplos de $7$ son $658,665,672,679$ . Como la séptima calificación es $95$ , las primeras seis calificaciones suman $S-95$ , que debe ser divisible entre $6$ . Esto obliga a que $S=665$ .

Las primeras seis calificaciones suman $570$ . El promedio de las primeras cinco también fue un entero, así que la suma de las primeras cinco calificaciones es divisible entre $5$ . Por lo tanto, la sexta calificación es divisible entre $5$ . Como la séptima calificación ya es $95$ y todas las calificaciones son distintas, la sexta calificación es $100$ . Así, E es la respuesta correcta.

Let $S$ be the sum of all seven scores. Since all seven averages were integers, $S$ is divisible by $7$ . Also the seven distinct scores are between $91$ and $100$ , so $91+92+\cdots+97$ $\le S\le$ $94+95+\cdots+100$ .

Thus $658\le S\le 679$ , and the possible multiples of $7$ are $658,665,672,679$ . Since the seventh score is $95$ , the first six scores sum to $S-95$ , which must be divisible by $6$ . This forces $S=665$ .

The first six scores sum to $570$ . The first five-score average was also an integer, so the sum of the first five scores is divisible by $5$ . Therefore the sixth score is divisible by $5$ . Since the seventh score is already $95$ and all scores are distinct, the sixth score is $100$ . Thus, E is the correct answer.

2017 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años