Question

Un polinomio cuadrático con coeficientes reales y coeficiente principal $1$ se llama irrespetuoso si la ecuación $p(p(x))=0$ se satisface exactamente por tres números reales. Entre todos los polinomios cuadráticos irrespetuosos, hay un único polinomio $\tilde{p}(x)$ para el cual la suma de las raíces es máxima. ¿Cuánto vale $\tilde{p}(1)$ ?

A quadratic polynomial with real coefficients and leading coefficient $1$ is called disrespectful if the equation $p(p(x))=0$ is satisfied by exactly three real numbers. Among all the disrespectful quadratic polynomials, there is a unique such polynomial $\tilde{p}(x)$ for which the sum of the roots is maximized. What is $\tilde{p}(1)?$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$1$

$\dfrac{9}{8}$

Solución:

Sean $r$ y $s$ las raíces de $p(x)$ , de modo que $\begin{aligned} p(x) &=(x-r)(x-s) \\ &=x^2-(r+s)x+rs. \end{aligned}$ La ecuación $p(p(x))=0$ es equivalente a $p(x)=r$ o $p(x)=s$ .

Para exactamente tres soluciones reales, una de estas dos ecuaciones cuadráticas debe tener una raíz doble y la otra debe tener dos raíces reales distintas. Supón que $p(x)=r$ tiene la raíz doble. Su discriminante es $\begin{aligned} &(r+s)^2-4(rs-r) \\ &=(r-s)^2+4r, \end{aligned}$ así que $(r-s)^2=-4r$ , forzando $r\le0$ .

La otra ecuación, $p(x)=s$ , tiene discriminante $(r-s)^2+4s$ $=-4r+4s$ $=4(s-r)$ , que debe ser positivo. Por lo tanto $s\gt r$ , así que $r-s=-2\sqrt{-r}$ y $s=r+2\sqrt{-r}$ .

La suma de las raíces es $r+s=2r+2\sqrt{-r}$ . Sea $u=\sqrt{-r}$ , de modo que esto es $-2u^2+2u$ , maximizado en $u=\frac{1}{2}$ . Así, $r=-\frac{1}{4}$ y $s=\frac{3}{4}$ .

Por lo tanto $p(x)=x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{16}$ , y $p(1)=1-\frac{1}{2}-\frac{3}{16}=\frac{5}{16}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the roots of $p(x)$ be $r$ and $s$ , so $\begin{aligned} p(x) &=(x-r)(x-s) \\ &=x^2-(r+s)x+rs. \end{aligned}$ The equation $p(p(x))=0$ is equivalent to $p(x)=r$ or $p(x)=s$ .

For exactly three real solutions, one of these two quadratic equations must have a double root and the other must have two distinct real roots. Suppose $p(x)=r$ has the double root. Its discriminant is $\begin{aligned} &(r+s)^2-4(rs-r) \\ &=(r-s)^2+4r, \end{aligned}$ so $(r-s)^2=-4r$ , forcing $r\le0$ .

The other equation, $p(x)=s$ , has discriminant $(r-s)^2+4s$ $=-4r+4s$ $=4(s-r)$ , which must be positive. Hence $s\gt r$ , so $r-s=-2\sqrt{-r}$ and $s=r+2\sqrt{-r}$ .

The sum of the roots is $r+s=2r+2\sqrt{-r}$ . Let $u=\sqrt{-r}$ , so this is $-2u^2+2u$ , maximized at $u=\frac{1}{2}$ . Thus $r=-\frac{1}{4}$ and $s=\frac{3}{4}$ .

Therefore $p(x)=x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{16}$ , and $p(1)=1-\frac{1}{2}-\frac{3}{16}=\frac{5}{16}.$

Thus, A is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años