Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n.$ ¿Para cuántos valores de $n$ se cumple $n + S(n) + S(S(n)) = 2007$ ?

For each positive integer $n,$ let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n.$ For how many values of $n$ is $n + S(n) + S(S(n)) = 2007?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Si $n \le 2007,$ entonces $S(n) \le 28$ y $S(S(n)) \le 10,$ así que $n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969.$

Como $n,$ $S(n),$ y $S(S(n))$ dejan todos el mismo resto módulo $9$ y $2007$ es múltiplo de $9,$ cada uno debe ser múltiplo de $3.$

Al revisar los múltiplos de $3$ entre $1969$ y $2007,$ la condición se cumple para $1977, 1980, 1983,$ y $2001.$

Así que hay $4$ valores de $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $n \le 2007,$ then $S(n) \le 28$ and $S(S(n)) \le 10,$ so $n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969.$

Since $n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ all leave the same remainder modulo $9$ and $2007$ is a multiple of $9,$ each must be a multiple of $3.$

Checking the multiples of $3$ between $1969$ and $2007,$ the condition holds for $1977, 1980, 1983,$ and $2001.$

So there are $4$ values of $n.$

Thus, the correct answer is D.