Question

¿Cuántas secuencias de $0$ y $1$ de longitud $19$ hay que empiecen con un $0,$ terminen con un $0,$ no contengan dos $0$ consecutivos, y no contengan tres $1$ consecutivos?

How many sequences of $0$ s and $1$ s of length $19$ are there that begin with a $0,$ end with a $0,$ contain no two consecutive $0$ s, and contain no three consecutive $1$ s?

$55$

$60$

$65$

$70$

$75$

Solución:

Nuestra secuencia empieza con un $0$ y luego tiene bloques de $110$ y $10$ en algún orden, cada uno de los cuales viene después de un $0.$

Sea $x$ el número de bloques $110$ y $y$ el número de bloques $10$ . Entonces el número de términos en la secuencia es $3x+2y+1=19,$ lo que da $3x+2y=18.$ Los únicos pares ordenados posibles son $\begin{align*}(x,y) = &(6,0),\\&(4,3),\\&(2,6),\\&(0,9).\end{align*}$ Entonces, el número de formas de ordenar los $x+y$ bloques es $\binom{x+y}x,$ ya que elegimos cuáles $x$ de las $x+y$ posiciones contienen un bloque $110$ .

Por lo tanto, el número total de formas es $\binom 66 + \binom 74 + \binom 82 + \binom 90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Así, la respuesta es C.

Our sequence starts with a $0$ then has sequences of $110$ and $10$ in some order, where they each come after a $0.$

Let the number of $110$ be $x$ and let the number of $10$ be $y.$ Then the number of terms in the sequence is $3x+2y+1=19,$ making $3x+2y=18.$ The only possible ordered pairs are $\begin{align*}(x,y) = &(6,0),\\&(4,3),\\&(2,6),\\&(0,9).\end{align*}$ Then, the number of ways to order the $x+y$ blocks is $\binom{x+y}x,$ since we choose which $x$ of the $x+y$ positions hold a $110$ block.

Therefore, the total number of ways is $\binom 66 + \binom 74 + \binom 82 + \binom 90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años