Question

Sea $n$ un número de $5$ cifras, y sean $q$ y $r$ el cociente y el residuo, respectivamente, cuando $n$ se divide entre $100.$ ¿Para cuántos valores de $n$ es $q + r$ divisible entre $11$ ?

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

Solución:

Escribe $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Como $99q$ es un múltiplo de $11,$ $q + r$ es divisible entre $11$ si y solo si $n$ lo es.

Los múltiplos de $11$ de $5$ cifras satisfacen $10000 \le n \le 99999,$ y hay

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Since $99q$ is a multiple of $11,$ $q + r$ is divisible by $11$ if and only if $n$ is.

The $5$ -digit multiples of $11$ satisfy $10000 \le n \le 99999,$ and there are

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años