2003 AMC 10A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es la diferencia entre la suma de los primeros $2003$ números pares y la suma de los primeros $2003$ números impares?

What is the difference between the sum of the first $2003$ even counting numbers and the sum of the first $2003$ odd counting numbers?

$0$

$1$

$2$

$2003$

$4006$

Respuesta: D

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Empareja cada número par con el número impar inmediatamente anterior.

Pair each even number with the odd number just below it

Pista grande:

Cada uno de los $2003$ pares aporta una diferencia de $1$ .

Each of the $2003$ pairs contributes a difference of $1$

Solución:

El $k$ -ésimo número par $2k$ es exactamente $1$ más que el $k$ -ésimo número impar $2k-1.$

Al sumar esta diferencia sobre los $2003$ pares se obtiene $2003 \cdot 1 = 2003.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $k$ th even number $2k$ is exactly $1$ more than the $k$ th odd number $2k-1.$

Summing this difference over all $2003$ pairs gives $2003 \cdot 1 = 2003.$

Thus, the correct answer is D.

2.

Los miembros de la Rockham Soccer League compran calcetines y camisetas. Los calcetines cuestan $\$4$ por par y cada camiseta cuesta $\$5$ más que un par de calcetines. Cada miembro necesita un par de calcetines y una camiseta para los partidos de local y otro par de calcetines y otra camiseta para los partidos de visitante. Si el costo total es $\$2366,$ ¿cuántos miembros hay en la liga?

Members of the Rockham Soccer League buy socks and T-shirts. Socks cost $\$4$ per pair and each T-shirt costs $\$5$ more than a pair of socks. Each member needs one pair of socks and a shirt for home games and another pair of socks and a shirt for away games. If the total cost is $\$2366,$ how many members are in the League?

$77$

$91$

$143$

$182$

$286$

Respuesta: B

Conceptos:dinero razón y proporción

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Una camiseta cuesta $\$4 + \$5 = \$9$ .

A T-shirt costs $\$4 + \$5 = \$9$

Pista grande:

Cada miembro necesita dos pares de calcetines y dos camisetas.

Each member needs two pairs of socks and two shirts

Solución:

Cada camiseta cuesta $\$4 + \$5 = \$9.$

Cada miembro necesita dos pares de calcetines y dos camisetas, con un costo de $2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = \$26.$

El número de miembros es $2366 \div 26 = 91.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each T-shirt costs $\$4 + \$5 = \$9.$

Each member needs two pairs of socks and two shirts, costing $2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = \$26.$

The number of members is $2366 \div 26 = 91.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Una caja sólida mide $15$ cm por $10$ cm por $8$ cm. Se forma un nuevo sólido quitando de cada esquina de esta caja un cubo de $3$ cm de lado. ¿Qué porcentaje del volumen original se elimina?

A solid box is $15$ cm by $10$ cm by $8$ cm. A new solid is formed by removing a cube $3$ cm on a side from each corner of this box. What percent of the original volume is removed?

$4.5$

$9$

$12$

$18$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:volumen porcentaje geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Cada cubo eliminado tiene volumen $3^3$ .

Each removed cube has volume $3^3$

Pista grande:

Hay $8$ esquinas, y el volumen original es $15 \cdot 10 \cdot 8$ .

There are $8$ corners, and the original volume is $15 \cdot 10 \cdot 8$

Solución:

Los ocho cubos eliminados tienen un volumen total de $8 \cdot 3^3 = 216$ centímetros cúbicos.

La caja original tiene un volumen de $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200$ centímetros cúbicos.

El porcentaje eliminado es $\dfrac{216}{1200} \cdot 100\% = 18\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The eight removed cubes have total volume $8 \cdot 3^3 = 216$ cubic centimeters.

The original box has volume $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200$ cubic centimeters.

The percent removed is $\dfrac{216}{1200} \cdot 100\% = 18\%.$

Thus, the correct answer is D.

4.

Mary tarda $30$ minutos en subir caminando $1$ km desde su casa hasta la escuela, pero solo tarda $10$ minutos en caminar de la escuela a casa por la misma ruta. ¿Cuál es su velocidad promedio, en km/hr, para el viaje de ida y vuelta?

It takes Mary $30$ minutes to walk uphill $1$ km from her home to school, but it takes her only $10$ minutes to walk from school to home along the same route. What is her average speed, in km/hr, for the round trip?

$3$

$3.125$

$3.5$

$4$

$4.5$

Respuesta: A

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo media armónica

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

La velocidad promedio es la distancia total dividida entre el tiempo total, no el promedio de las dos velocidades.

Average speed is total distance divided by total time, not the average of the two speeds

Pista grande:

Recorre $2$ km en $30 + 10 = 40$ minutos.

She covers $2$ km in $30 + 10 = 40$ minutes

Solución:

Mary camina un total de $2$ km en $30 + 10 = 40$ minutos.

Como $40$ minutos son $\dfrac{2}{3}$ de hora, su velocidad promedio es $2 \div \dfrac{2}{3} = 3$ km/hr.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Mary walks a total of $2$ km in $30 + 10 = 40$ minutes.

Since $40$ minutes is $\dfrac{2}{3}$ hour, her average speed is $2 \div \dfrac{2}{3} = 3$ km/hr.

Thus, the correct answer is A.

5.

Sean $d$ y $e$ las soluciones de $2x^2 + 3x - 5 = 0.$ ¿Cuál es el valor de $(d - 1)(e - 1)$ ?

Let $d$ and $e$ denote the solutions of $2x^2 + 3x - 5 = 0.$ What is the value of $(d - 1)(e - 1)?$

$-\dfrac{5}{2}$

$0$

$3$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Desarrolla $(d-1)(e-1)$ en términos de $d+e$ y $de$

Expand $(d-1)(e-1)$ in terms of $d+e$ and $de$

Pista grande:

Usa las fórmulas de Vieta para hallar $d+e$ y $de$ sin resolver las raíces

Use Vieta’s formulas to find $d+e$ and $de$ without solving for the roots

Solución:

Al factorizar se obtiene $2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1),$ así que las raíces son $-\dfrac{5}{2}$ y $1.$

Como una raíz es igual a $1,$ uno de los dos factores $d-1$ y $e-1$ es igual a $0,$ lo que hace que el producto sea $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring gives $2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1),$ so the roots are $-\dfrac{5}{2}$ and $1.$

Since one root equals $1,$ one of the two factors $d-1$ and $e-1$ equals $0,$ making the product $0.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Define $x \heartsuit y$ como $|x - y|$ para todos los números reales $x$ y $y.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

Define $x \heartsuit y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Which of the following statements is not true?

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ para todo $x$ y $y$

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ for all $x$ and $y$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ para todo $x$ y $y$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ for all $x$ and $y$

$x \heartsuit 0 = x$ para todo $x$

$x \heartsuit 0 = x$ for all $x$

$x \heartsuit x = 0$ para todo $x$

$x \heartsuit x = 0$ for all $x$

$x \heartsuit y \gt 0$ si $x \ne y$

$x \heartsuit y \gt 0$ if $x \ne y$

Respuesta: C

Conceptos:operación personalizada valor absoluto contraejemplo

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Reescribe cada afirmación usando $x \heartsuit y = |x-y|$ .

Rewrite each statement using $x \heartsuit y = |x-y|$

Pista grande:

Presta especial atención cuando una entrada es $0$ y la otra es negativa.

Pay special attention when one input is $0$ and the other is negative

Solución:

La afirmación (C) sostiene que $x \heartsuit 0 = x,$ pero $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ lo cual falla para valores negativos de $x.$ Por ejemplo, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

Las demás afirmaciones se deducen directamente de las propiedades del valor absoluto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Statement (C) claims $x \heartsuit 0 = x,$ but $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ which fails for negative $x.$ For example, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

The remaining statements all follow directly from the properties of absolute value.

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuántos triángulos no congruentes con perímetro $7$ tienen longitudes de lado enteras?

How many non-congruent triangles with perimeter $7$ have integer side lengths?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad triangular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Los tres lados son enteros positivos cuya suma es $7$ .

The three sides are positive integers summing to $7$

Pista grande:

El lado más largo debe ser menor que $3.5,$ por lo que es a lo sumo $3$ .

The longest side must be less than $3.5,$ so it is at most $3$

Solución:

El lado más largo no puede exceder $3,$ pues de lo contrario los otros dos lados no podrían alcanzarlo.

Las únicas posibilidades son lados $1,$ $3,$ $3$ y $2,$ $2,$ $3,$ lo que da $2$ triángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The longest side cannot exceed $3,$ since otherwise the other two sides could not reach it.

The only possibilities are side lengths $1,$ $3,$ $3$ and $2,$ $2,$ $3,$ giving $2$ triangles.

Thus, the correct answer is B.

8.

¿Cuál es la probabilidad de que un factor positivo de $60$ elegido al azar sea menor que $7$ ?

What is the probability that a randomly drawn positive factor of $60$ is less than $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: E

Conceptos:factor probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Enumera todos los divisores positivos de $60$ .

List all positive divisors of $60$

Pista grande:

Cuenta cuántos de los $12$ divisores son menores que $7$ .

Count how many of the $12$ divisors are less than $7$

Solución:

Los factores de $60$ son $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $10,$ $12,$ $15,$ $20,$ $30,$ y $60.$

Seis de estos doce factores son menores que $7,$ así que la probabilidad es $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factors of $60$ are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $10,$ $12,$ $15,$ $20,$ $30,$ and $60.$

Six of these twelve factors are less than $7,$ so the probability is $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

9.

Simplifica $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}.$

Simplify $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}.$

$\sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x^2}$

$\sqrt[27]{x^2}$

$\sqrt[54]{x}$

$\sqrt[81]{x^{80}}$

Respuesta: A

Conceptos:radical exponente

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Reescribe cada radical usando exponentes fraccionarios, trabajando de adentro hacia afuera.

Rewrite each radical using fractional exponents, working from the inside out

Pista grande:

La parte más interna $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},$ y cada raíz cúbica divide el exponente entre $3$ .

The innermost $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},$ and each cube root divides the exponent by $3$

Solución:

Trabajando hacia afuera, $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},$ y su raíz cúbica es $x^{\frac{1}{2}}.$

Luego $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},$ cuya raíz cúbica es de nuevo $x^{\frac{1}{2}}.$

Repitiendo una vez más, $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},$ cuya raíz cúbica es $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Working outward, $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}},$ and its cube root is $x^{\frac{1}{2}}.$

Then $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},$ whose cube root is again $x^{\frac{1}{2}}.$

Repeating once more, $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}},$ whose cube root is $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}.$

Thus, the correct answer is A.

10.

El polígono encerrado por las líneas continuas en la figura consta de $4$ cuadrados congruentes unidos borde con borde. Se adjunta un cuadrado congruente más a un borde en una de las nueve posiciones indicadas. ¿Cuántos de los nueve polígonos resultantes se pueden plegar para formar un cubo al que le falta una cara?

The polygon enclosed by the solid lines in the figure consists of $4$ congruent squares joined edge-to-edge. One more congruent square is attached to an edge at one of the nine positions indicated. How many of the nine resulting polygons can be folded to form a cube with one face missing?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Los cuatro cuadrados ya se envuelven formando las cuatro caras laterales de un cubo.

The four squares already wrap into four side faces of a cube

Pista grande:

El quinto cuadrado debe plegarse como una de las dos caras restantes sin caer sobre una cara ya cubierta.

The fifth square must fold up as one of the two remaining faces without landing on a face already covered

Solución:

Primero se pliegan los cuatro cuadrados sombreados. Ocupan cuatro caras distintas del cubo y dejan dos caras libres.

Al revisar las posiciones numeradas, $1,$ $2,$ y $3$ pliegan el cuadrado nuevo sobre una cara ya ocupada por un cuadrado sombreado. Las posiciones $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ y $9$ lo pliegan sobre una de las dos caras libres. Por tanto, exactamente $6$ de los $9$ polígonos funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Fold the four shaded squares first. They occupy four distinct faces of the cube, leaving two faces open.

Checking the numbered attachments, positions $1,$ $2,$ and $3$ fold the new square onto a face already occupied by one of the shaded squares. Positions $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ and $9$ fold it onto one of the two open faces. Therefore exactly $6$ of the $9$ polygons work.

Thus, the correct answer is E.

11.

La suma de los dos números de $5$ cifras $AMC10$ y $AMC12$ es $123422.$ ¿Cuánto vale $A + M + C$ ?

The sum of the two $5$ -digit numbers $AMC10$ and $AMC12$ is $123422.$ What is $A + M + C?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Respuesta: E

Conceptos:criptoaritmética valor posicional

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Escribe cada número como $100 \cdot \overline{AMC}$ más sus dos últimas cifras.

Write each number as $100 \cdot \overline{AMC}$ plus its last two digits

Pista grande:

Su suma es $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422$ .

Their sum is $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422$

Solución:

Los dos números son $100 \cdot \overline{AMC} + 10$ y $100 \cdot \overline{AMC} + 12,$ así que su suma es $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422.$

Entonces $200 \cdot \overline{AMC} = 123400,$ así que $\overline{AMC} = 617.$

Por lo tanto $A + M + C = 6 + 1 + 7 = 14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two numbers equal $100 \cdot \overline{AMC} + 10$ and $100 \cdot \overline{AMC} + 12,$ so their sum is $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422.$

Then $200 \cdot \overline{AMC} = 123400,$ so $\overline{AMC} = 617.$

Therefore $A + M + C = 6 + 1 + 7 = 14.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Se elige al azar un punto $(x, y)$ dentro del rectángulo con vértices $(0, 0),$ $(4, 0),$ $(4, 1),$ y $(0, 1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $x \lt y$ ?

A point $(x, y)$ is randomly picked from inside the rectangle with vertices $(0, 0),$ $(4, 0),$ $(4, 1),$ and $(0, 1).$ What is the probability that $x \lt y?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad geométrica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La región favorable está por encima de la recta $y = x$ .

The favorable region lies above the line $y = x$

Pista grande:

Dentro del rectángulo, esa región es un triángulo con catetos de longitud $1$ .

Within the rectangle, that region is a triangle with legs of length $1$

Solución:

La condición $x \lt y$ se cumple en el triángulo delimitado por $y = x,$ $y = 1,$ y $x = 0,$ que tiene vértices $(0, 0),$ $(0, 1),$ y $(1, 1).$

Este triángulo tiene área $\dfrac{1}{2},$ mientras que el rectángulo tiene área $4.$

La probabilidad es $\dfrac{\frac{1}{2}}{4} = \dfrac{1}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The condition $x \lt y$ holds in the triangle bounded by $y = x,$ $y = 1,$ and $x = 0,$ which has vertices $(0, 0),$ $(0, 1),$ and $(1, 1).$

This triangle has area $\dfrac{1}{2},$ while the rectangle has area $4.$

The probability is $\dfrac{\frac{1}{2}}{4} = \dfrac{1}{8}.$

Thus, the correct answer is A.

13.

La suma de tres números es $20.$ El primero es $4$ veces la suma de los otros dos. El segundo es siete veces el tercero. ¿Cuál es el producto de los tres?

The sum of three numbers is $20.$ The first is $4$ times the sum of the other two. The second is seven times the third. What is the product of all three?

$28$

$40$

$100$

$400$

$800$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Sea el tercer número $c;$ entonces el segundo es $7c$ .

Let the third number be $c;$ then the second is $7c$

Pista grande:

El primer número es igual a $4(b + c),$ así que $4(b + c) + (b + c) = 20$ .

The first number equals $4(b + c),$ so $4(b + c) + (b + c) = 20$

Solución:

Sean los números $a,$ $b,$ $c.$ Como $a = 4(b + c),$ obtenemos $4(b + c) + (b + c) = 20,$ así que $b + c = 4$ y $a = 16.$

Con $b = 7c,$ tenemos $7c + c = 4,$ así que $c = \dfrac{1}{2}$ y $b = \dfrac{7}{2}.$

El producto es $16 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the numbers be $a,$ $b,$ $c.$ Since $a = 4(b + c),$ we get $4(b + c) + (b + c) = 20,$ so $b + c = 4$ and $a = 16.$

With $b = 7c,$ we have $7c + c = 4,$ so $c = \dfrac{1}{2}$ and $b = \dfrac{7}{2}.$

The product is $16 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 28.$

Thus, the correct answer is A.

14.

Sea $n$ el mayor entero que es el producto de exactamente $3$ números primos distintos, $d,$ $e,$ y $10d + e,$ donde $d$ y $e$ son cifras. ¿Cuál es la suma de las cifras de $n$ ?

Let $n$ be the largest integer that is the product of exactly $3$ distinct prime numbers, $d,$ $e,$ and $10d + e,$ where $d$ and $e$ are single digits. What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

Respuesta: A

Conceptos:primo dígitos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Los primos de una cifra son $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ y $10d + e$ también debe ser primo.

The single-digit primes are $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ and $10d + e$ must also be prime

Pista grande:

Prueba los pares candidatos en orden descendente de $d,$ descartando aquellos para los que $10d+e$ sea compuesto.

Test candidate pairs in descending order of $d,$ discarding any pair for which $10d+e$ is composite

Solución:

Tanto $d$ como $e$ son elementos distintos de $\{2,3,5,7\},$ y $10d+e$ también debe ser primo.

Empecemos con la mayor cifra de las decenas. Para $d=7,$ las opciones $e=5$ y $e=2$ dan los compuestos $75$ y $72,$ mientras que $e=3$ da el primo $73.$ Esto produce $n=7\cdot3\cdot73=1533.$

Para $d=5,$ las opciones $e=7$ y $e=2$ dan los compuestos $57$ y $52,$ mientras que $e=3$ solo da $5\cdot3\cdot53=795.$ Todo caso con $d\le3$ es a lo sumo $3\cdot7\cdot37=777.$ Por tanto, $1533$ es el mayor valor válido.

La suma de sus cifras es $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Both $d$ and $e$ are distinct members of $\{2,3,5,7\},$ and $10d+e$ must also be prime.

Start with the largest possible tens digit. For $d=7,$ the choices $e=5$ and $e=2$ give the composite numbers $75$ and $72,$ while $e=3$ gives the prime $73.$ This produces $n=7\cdot3\cdot73=1533.$

For $d=5,$ the choices $e=7$ and $e=2$ give the composite numbers $57$ and $52,$ while $e=3$ gives only $5\cdot3\cdot53=795.$ Every case with $d\le3$ is at most $3\cdot7\cdot37=777.$ Hence $1533$ is the largest valid value.

The sum of its digits is $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is A.

15.

¿Cuál es la probabilidad de que un entero del conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ sea divisible entre $2$ y no divisible entre $3$ ?

What is the probability that an integer in the set $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ is divisible by $2$ and not divisible by $3?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{17}{50}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{18}{25}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cuenta los múltiplos de $2,$ luego quita los que también son divisibles entre $3$ .

Count the multiples of $2,$ then remove those also divisible by $3$

Pista grande:

Hay $50$ números pares y $16$ múltiplos de $6$ .

There are $50$ even numbers and $16$ multiples of $6$

Solución:

De los $100$ enteros, $50$ son divisibles entre $2.$

Entre esos, los que también son divisibles entre $3$ son los múltiplos de $6,$ de los cuales hay $16.$

Así que $50 - 16 = 34$ cumplen, lo que da una probabilidad de $\dfrac{34}{100} = \dfrac{17}{50}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Of the $100$ integers, $50$ are divisible by $2.$

Among those, the ones also divisible by $3$ are the multiples of $6,$ of which there are $16.$

So $50 - 16 = 34$ qualify, giving probability $\dfrac{34}{100} = \dfrac{17}{50}.$

Thus, the correct answer is C.

16.

¿Cuál es la cifra de las unidades de $13^{2003}$ ?

What is the units digit of $13^{2003}?$

$1$

$3$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: C

Conceptos:dígito de las unidades aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

La cifra de las unidades de $13^n$ es igual a la cifra de las unidades de $3^n$ .

The units digit of $13^n$ equals the units digit of $3^n$

Pista grande:

Las cifras de las unidades de las potencias de $3$ se repiten en el ciclo $3,$ $9,$ $7,$ $1$ con periodo $4$ .

Units digits of powers of $3$ cycle $3,$ $9,$ $7,$ $1$ with period $4$

Solución:

La cifra de las unidades de $13^{2003}$ coincide con la de $3^{2003}.$

Las potencias de $3$ tienen cifras de las unidades que se repiten en el ciclo $3,$ $9,$ $7,$ $1$ con periodo $4.$

Como $2003 = 4 \cdot 500 + 3,$ la cifra de las unidades es la tercera del ciclo, que es $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The units digit of $13^{2003}$ matches that of $3^{2003}.$

Powers of $3$ have units digits cycling $3,$ $9,$ $7,$ $1$ with period $4.$

Since $2003 = 4 \cdot 500 + 3,$ the units digit is the third in the cycle, which is $7.$

Thus, the correct answer is C.

17.

El número de pulgadas del perímetro de un triángulo equilátero es igual al número de pulgadas cuadradas del área de su círculo circunscrito. ¿Cuál es el radio, en pulgadas, del círculo?

The number of inches in the perimeter of an equilateral triangle equals the number of square inches in the area of its circumscribed circle. What is the radius, in inches, of the circle?

$\dfrac{3\sqrt{2}}{\pi}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{6}{\pi}$

$\sqrt{3}\pi$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Para un triángulo equilátero de lado $s,$ el circunradio es $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}}$ .

For an equilateral triangle of side $s,$ the circumradius is $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}}$

Pista grande:

Iguala el perímetro $3s$ al área $\pi R^2,$ luego sustituye $s = R\sqrt{3}$ .

Set the perimeter $3s$ equal to the area $\pi R^2,$ then substitute $s = R\sqrt{3}$

Solución:

Sea la longitud del lado $s$ y el circunradio $R.$ A partir de un triángulo $30$ - $60$ - $90$ formado por el centro y un lado, $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}},$ así que $s = R\sqrt{3}.$

El perímetro es $3s = 3R\sqrt{3}$ y el área del círculo es $\pi R^2.$

Al igualarlos, $3R\sqrt{3} = \pi R^2,$ así que $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the side length be $s$ and the circumradius be $R.$ From a $30$ - $60$ - $90$ triangle formed by the center and a side, $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}},$ so $s = R\sqrt{3}.$

The perimeter is $3s = 3R\sqrt{3}$ and the circle’s area is $\pi R^2.$

Setting them equal, $3R\sqrt{3} = \pi R^2,$ so $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

¿Cuál es la suma de los recíprocos de las raíces de la ecuación $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?$

What is the sum of the reciprocals of the roots of the equation $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?$

$-\dfrac{2004}{2003}$

$-1$

$\dfrac{2003}{2004}$

$1$

$\dfrac{2004}{2003}$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Multiplica todo por $x$ para obtener una ecuación cuadrática $ax^2 + x + 1 = 0$ con $a = \dfrac{2003}{2004}$ .

Multiply through by $x$ to get a quadratic $ax^2 + x + 1 = 0$ with $a = \dfrac{2003}{2004}$

Pista grande:

Si las raíces son $r$ y $s,$ su suma de recíprocos es $\dfrac{r + s}{rs},$ y por Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a},$ $rs = \dfrac{1}{a}$ .

If the roots are $r$ and $s,$ their reciprocal sum is $\dfrac{r + s}{rs},$ and by Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a},$ $rs = \dfrac{1}{a}$

Solución:

Sea $a = \dfrac{2003}{2004}.$ Multiplicar la ecuación por $x$ da $ax^2 + x + 1 = 0.$

Si las raíces son $r$ y $s,$ entonces por las fórmulas de Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a}$ y $rs = \dfrac{1}{a}.$

La suma de los recíprocos es $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a = \dfrac{2003}{2004}.$ Multiplying the equation by $x$ gives $ax^2 + x + 1 = 0.$

If the roots are $r$ and $s,$ then by Vieta’s formulas $r + s = -\dfrac{1}{a}$ and $rs = \dfrac{1}{a}.$

The sum of reciprocals is $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Un semicírculo de diámetro $1$ se apoya en la parte superior de un semicírculo de diámetro $2,$ como se muestra. El área sombreada dentro del semicírculo más pequeño y fuera del semicírculo más grande se llama lúnula. Determina el área de esta lúnula.

A semicircle of diameter $1$ sits at the top of a semicircle of diameter $2,$ as shown. The shaded area inside the smaller semicircle and outside the larger semicircle is called a lune. Determine the area of this lune.

$\dfrac{1}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{12}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{12}\pi$

Respuesta: C

Conceptos:sector circular descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

La lúnula es igual a un triángulo más el semicírculo pequeño, menos un sector del círculo grande.

The lune equals a triangle plus the small semicircle, minus a sector of the large circle

Pista grande:

La cuerda de longitud $1$ subtiende un arco de $60^\circ$ del semicírculo grande.

The chord of length $1$ subtends a $60^\circ$ arc of the large semicircle

Solución:

El diámetro del semicírculo pequeño es una cuerda de longitud $1$ en el círculo grande. Al unir sus extremos con el centro del círculo grande se obtiene un triángulo equilátero de lado $1$ y área $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

La región entre la cuerda y el arco pequeño, junto con ese triángulo, tiene área $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8}.$

Al restar el sector de $60^\circ$ del círculo grande, de área $\dfrac{1}{6}\pi(1)^2 = \dfrac{\pi}{6},$ queda la lúnula: $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The small semicircle’s diameter is a chord of length $1$ in the large circle. Joining its endpoints to the large circle’s center gives an equilateral triangle of side $1$ and area $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

The region between the chord and the small arc, taken together with that triangle, has area $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8}.$

Subtracting the $60^\circ$ sector of the large circle, of area $\dfrac{1}{6}\pi(1)^2 = \dfrac{\pi}{6},$ leaves the lune: $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{24}.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Se selecciona al azar un número de tres cifras $n$ en base $10$ . ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la probabilidad de que la representación en base $9$ y la representación en base $11$ de $n$ sean ambas de tres cifras?

A base- $10$ three-digit number $n$ is selected at random. Which of the following is closest to the probability that the base- $9$ representation and the base- $11$ representation of $n$ are both three-digit numerals?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica probabilidad básica conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Un número tiene tres cifras en base $9$ cuando $81 \le n \le 728,$ y tres cifras en base $11$ cuando $121 \le n \le 1330$ .

A number is three-digit in base $9$ when $81 \le n \le 728,$ and three-digit in base $11$ when $121 \le n \le 1330$

Pista grande:

Entre los $900$ números de tres cifras en base $10$ , cuenta los que cumplen $121 \le n \le 728$ .

Among the $900$ three-digit base- $10$ numbers, count those with $121 \le n \le 728$

Solución:

El mayor número de tres cifras en base $9$ es $9^3 - 1 = 728,$ y el menor número de tres cifras en base $11$ es $11^2 = 121.$

Así que ambas condiciones se cumplen exactamente cuando $121 \le n \le 728,$ lo que da $608$ enteros.

De los $900$ números de tres cifras, la probabilidad es $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The largest three-digit base- $9$ number is $9^3 - 1 = 728,$ and the smallest three-digit base- $11$ number is $11^2 = 121.$

So both conditions hold exactly when $121 \le n \le 728,$ giving $608$ integers.

Out of $900$ three-digit numbers, the probability is $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Pat debe seleccionar seis galletas de una bandeja que contiene solo galletas con chispas de chocolate, de avena y de mantequilla de maní. Hay al menos seis de cada una de estas tres clases de galletas en la bandeja. ¿Cuántos surtidos diferentes de seis galletas se pueden seleccionar?

Pat is to select six cookies from a tray containing only chocolate chip, oatmeal, and peanut butter cookies. There are at least six of each of these three kinds of cookies on the tray. How many different assortments of six cookies can be selected?

$22$

$25$

$27$

$28$

$729$

Respuesta: D

Conceptos:estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Cuenta las soluciones enteras no negativas de $a + b + c = 6$ .

Count the nonnegative integer solutions to $a + b + c = 6$

Pista grande:

Por el método de estrellas y barras, esto es $\dbinom{6 + 2}{2}$ .

By stars and bars this is $\dbinom{6 + 2}{2}$

Solución:

Un surtido queda determinado por cuántas de cada tipo se eligen, así que contamos las soluciones enteras no negativas de $a + b + c = 6.$

Por estrellas y barras, colocar $2$ separadores entre $8$ espacios da $\dbinom{8}{2} = 28$ surtidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An assortment is determined by how many of each type are chosen, so we count nonnegative integer solutions to $a + b + c = 6.$

By stars and bars, placing $2$ dividers among $8$ slots gives $\dbinom{8}{2} = 28$ assortments.

Thus, the correct answer is D.

22.

En el rectángulo $ABCD,$ tenemos $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ está en $\overline{BC}$ con $BH = 6,$ $E$ está en $AD$ con $DE = 4,$ la recta $EC$ corta a la recta $AH$ en $G,$ y $F$ está en la recta $AD$ con $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Halla la longitud $\overline{GF}.$

In rectangle $ABCD,$ we have $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ is on $\overline{BC}$ with $BH = 6,$ $E$ is on $AD$ with $DE = 4,$ line $EC$ intersects line $AH$ at $G,$ and $F$ is on line $AD$ with $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Find the length $\overline{GF}.$

$16$

$20$

$24$

$28$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Coloca $D$ en el origen con $A$ sobre el semieje positivo $x$ .

Place $D$ at the origin with $A$ on the positive $x$ -axis

Pista grande:

Halla dónde se cruzan la recta $AH$ y la recta $EC$ , luego $\overline{GF}$ es la altura de $G$ sobre la recta $AD$ .

Find where line $AH$ and line $EC$ meet, then $\overline{GF}$ is the height of $G$ above line $AD$

Solución:

Coloca $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ y $E = (4, 0).$

La recta $AH$ tiene ecuación $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ y la recta $EC$ tiene ecuación $y = -2x + 8.$

Al igualarlas se obtiene $x = -6$ y $y = 20,$ así que $G = (-6, 20).$ Como $\overline{GF}$ es perpendicular a la recta $AD$ (el eje $x$ ), su longitud es la altura $20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ and $E = (4, 0).$

Line $AH$ has equation $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ and line $EC$ has equation $y = -2x + 8.$

Setting them equal gives $x = -6$ and $y = 20,$ so $G = (-6, 20).$ Since $\overline{GF}$ is perpendicular to line $AD$ (the $x$ -axis), its length is the height $20.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Se construye un triángulo equilátero grande usando palillos para crear filas de pequeños triángulos equiláteros. Por ejemplo, en la figura tenemos $3$ filas de pequeños triángulos equiláteros congruentes, con $5$ triángulos pequeños en la fila base. ¿Cuántos palillos se necesitarían para construir un triángulo equilátero grande si la fila base del triángulo consta de $2003$ triángulos equiláteros pequeños?

A large equilateral triangle is constructed by using toothpicks to create rows of small equilateral triangles. For example, in the figure we have $3$ rows of small congruent equilateral triangles, with $5$ small triangles in the base row. How many toothpicks would be needed to construct a large equilateral triangle if the base row of the triangle consists of $2003$ small equilateral triangles?

$1{,}004{,}004$

$1{,}005{,}006$

$1{,}507{,}509$

$3{,}015{,}018$

$6{,}021{,}018$

Respuesta: C

Conceptos:sumatoria reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Una fila base de $2003$ triángulos pequeños significa que $2n - 1 = 2003,$ así que hay $n$ filas.

A base row of $2003$ small triangles means $2n - 1 = 2003,$ so there are $n$ rows

Pista grande:

La fila $k$ necesita $3k$ palillos, así que el total es $3(1 + 2 + \cdots + n)$ .

Row $k$ needs $3k$ toothpicks, so the total is $3(1 + 2 + \cdots + n)$

Solución:

Un triángulo con $n$ filas tiene $2n - 1$ triángulos pequeños en su fila base, así que $2n - 1 = 2003$ da $n = 1002.$

Cada fila $k$ requiere $3k$ palillos, así que el total es $3(1 + 2 + \cdots + 1002).$

Esto es igual a $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A triangle with $n$ rows has $2n - 1$ small triangles in its base row, so $2n - 1 = 2003$ gives $n = 1002.$

Each row $k$ requires $3k$ toothpicks, so the total is $3(1 + 2 + \cdots + 1002).$

This equals $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Sally tiene cinco cartas rojas numeradas del $1$ al $5$ y cuatro cartas azules numeradas del $3$ al $6.$ Apila las cartas de modo que los colores se alternen y de modo que el número de cada carta roja divida exactamente al número de cada carta azul vecina. ¿Cuál es la suma de los números de las tres cartas centrales?

Sally has five red cards numbered $1$ through $5$ and four blue cards numbered $3$ through $6.$ She stacks the cards so that the colors alternate and so that the number on each red card divides evenly into the number on each neighboring blue card. What is the sum of the numbers on the middle three cards?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: E

Conceptos:divisibilidad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Considera con qué cartas azules puede ser vecina cada carta roja, ya que el número rojo debe dividir al número azul.

Consider which blue cards each red card can neighbor, since the red number must divide the blue number

Pista grande:

La roja $4$ y la roja $5$ dividen cada una a una sola carta azul, lo que obliga a que estén en los extremos de la pila.

Red $4$ and red $5$ each divide only one blue card, forcing the ends of the stack

Solución:

Entre las cartas azules $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ la roja $5$ solo divide a $5$ y la roja $4$ solo divide a $4,$ así que esos pares deben ir en los extremos.

La roja $2$ solo divide a $4$ y $6,$ y la roja $3$ solo divide a $3$ y $6.$ Encadenar esto obliga a que la pila sea $R4,$ $B4,$ $R2,$ $B6,$ $R3,$ $B3,$ $R1,$ $B5,$ $R5.$

Las tres cartas centrales son $B6,$ $R3,$ $B3,$ que suman $6 + 3 + 3 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Among blue cards $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ red $5$ divides only $5$ and red $4$ divides only $4,$ so those pairs must sit at the ends.

Red $2$ divides only $4$ and $6,$ and red $3$ divides only $3$ and $6.$ Chaining these forces the stack $R4,$ $B4,$ $R2,$ $B6,$ $R3,$ $B3,$ $R1,$ $B5,$ $R5.$

The middle three cards are $B6,$ $R3,$ $B3,$ summing to $6 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Sea $n$ un número de $5$ cifras, y sean $q$ y $r$ el cociente y el residuo, respectivamente, cuando $n$ se divide entre $100.$ ¿Para cuántos valores de $n$ es $q + r$ divisible entre $11$ ?

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escribe $n = 100q + r,$ así que $n = (q + r) + 99q$ .

Write $n = 100q + r,$ so $n = (q + r) + 99q$

Pista grande:

Como $99q$ es divisible entre $11,$ $q + r$ es divisible entre $11$ exactamente cuando $n$ lo es.

Since $99q$ is divisible by $11,$ $q + r$ is divisible by $11$ exactly when $n$ is

Solución:

Escribe $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Como $99q$ es un múltiplo de $11,$ $q + r$ es divisible entre $11$ si y solo si $n$ lo es.

Los múltiplos de $11$ de $5$ cifras satisfacen $10000 \le n \le 99999,$ y hay

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Since $99q$ is a multiple of $11,$ $q + r$ is divisible by $11$ if and only if $n$ is.

The $5$ -digit multiples of $11$ satisfy $10000 \le n \le 99999,$ and there are

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

Problemas del 2003 AMC 10A

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande: