2003 AMC 10A — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

¿Cuál es la diferencia entre la suma de los primeros $2003$ números pares y la suma de los primeros $2003$ números impares?

What is the difference between the sum of the first $2003$ even counting numbers and the sum of the first $2003$ odd counting numbers?

$0$

$1$

$2$

$2003$

$4006$

Respuesta: D

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 860

Solución:

El $k$ -ésimo número par $2k$ es exactamente $1$ más que el $k$ -ésimo número impar $2k-1.$

Al sumar esta diferencia sobre los $2003$ pares se obtiene $2003 \cdot 1 = 2003.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $k$ th even number $2k$ is exactly $1$ more than the $k$ th odd number $2k-1.$

Summing this difference over all $2003$ pairs gives $2003 \cdot 1 = 2003.$

Thus, the correct answer is D.

2.

Los miembros de la Rockham Soccer League compran calcetines y camisetas. Los calcetines cuestan $\$4$ por par y cada camiseta cuesta $\$5$ más que un par de calcetines. Cada miembro necesita un par de calcetines y una camiseta para los partidos de local y otro par de calcetines y otra camiseta para los partidos de visitante. Si el costo total es $\$2366,$ ¿cuántos miembros hay en la liga?

Members of the Rockham Soccer League buy socks and T-shirts. Socks cost $\$4$ per pair and each T-shirt costs $\$5$ more than a pair of socks. Each member needs one pair of socks and a shirt for home games and another pair of socks and a shirt for away games. If the total cost is $\$2366,$ how many members are in the League?

$77$

$91$

$143$

$182$

$286$

Respuesta: B

Conceptos:dinero razón y proporción

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Cada camiseta cuesta $\$4 + \$5 = \$9.$

Cada miembro necesita dos pares de calcetines y dos camisetas, con un costo de $2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = \$26.$

El número de miembros es $2366 \div 26 = 91.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each T-shirt costs $\$4 + \$5 = \$9.$

Each member needs two pairs of socks and two shirts, costing $2 \cdot 4 + 2 \cdot 9 = \$26.$

The number of members is $2366 \div 26 = 91.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Una caja sólida mide $15$ cm por $10$ cm por $8$ cm. Se forma un nuevo sólido quitando de cada esquina de esta caja un cubo de $3$ cm de lado. ¿Qué porcentaje del volumen original se elimina?

A solid box is $15$ cm by $10$ cm by $8$ cm. A new solid is formed by removing a cube $3$ cm on a side from each corner of this box. What percent of the original volume is removed?

$4.5$

$9$

$12$

$18$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:volumen porcentaje geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Los ocho cubos eliminados tienen un volumen total de $8 \cdot 3^3 = 216$ centímetros cúbicos.

La caja original tiene un volumen de $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200$ centímetros cúbicos.

El porcentaje eliminado es $\dfrac{216}{1200} \cdot 100\% = 18\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The eight removed cubes have total volume $8 \cdot 3^3 = 216$ cubic centimeters.

The original box has volume $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200$ cubic centimeters.

The percent removed is $\dfrac{216}{1200} \cdot 100\% = 18\%.$

Thus, the correct answer is D.

4.

Mary tarda $30$ minutos en subir caminando $1$ km desde su casa hasta la escuela, pero solo tarda $10$ minutos en caminar de la escuela a casa por la misma ruta. ¿Cuál es su velocidad promedio, en km/hr, para el viaje de ida y vuelta?

It takes Mary $30$ minutes to walk uphill $1$ km from her home to school, but it takes her only $10$ minutes to walk from school to home along the same route. What is her average speed, in km/hr, for the round trip?

$3$

$3.125$

$3.5$

$4$

$4.5$

Respuesta: A

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo media armónica

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Mary camina un total de $2$ km en $30 + 10 = 40$ minutos.

Como $40$ minutos son $\dfrac{2}{3}$ de hora, su velocidad promedio es $2 \div \dfrac{2}{3} = 3$ km/hr.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Mary walks a total of $2$ km in $30 + 10 = 40$ minutes.

Since $40$ minutes is $\dfrac{2}{3}$ hour, her average speed is $2 \div \dfrac{2}{3} = 3$ km/hr.

Thus, the correct answer is A.

5.

Sean $d$ y $e$ las soluciones de $2x^2 + 3x - 5 = 0.$ ¿Cuál es el valor de $(d - 1)(e - 1)$ ?

Let $d$ and $e$ denote the solutions of $2x^2 + 3x - 5 = 0.$ What is the value of $(d - 1)(e - 1)?$

$-\dfrac{5}{2}$

$0$

$3$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Al factorizar se obtiene $2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1),$ así que las raíces son $-\dfrac{5}{2}$ y $1.$

Como una raíz es igual a $1,$ el factor $(e - 1) = 0,$ lo que hace que el producto sea $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring gives $2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1),$ so the roots are $-\dfrac{5}{2}$ and $1.$

Since one root equals $1,$ the factor $(e - 1) = 0,$ making the product $0.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Define $x \heartsuit y$ como $|x - y|$ para todos los números reales $x$ y $y.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

Define $x \heartsuit y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Which of the following statements is not true?

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ para todo $x$ y $y$

$x \heartsuit y = y \heartsuit x$ for all $x$ and $y$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ para todo $x$ y $y$

$2(x \heartsuit y) = (2x) \heartsuit (2y)$ for all $x$ and $y$

$x \heartsuit 0 = x$ para todo $x$

$x \heartsuit 0 = x$ for all $x$

$x \heartsuit x = 0$ para todo $x$

$x \heartsuit x = 0$ for all $x$

$x \heartsuit y \gt 0$ si $x \ne y$

$x \heartsuit y \gt 0$ if $x \ne y$

Respuesta: C

Conceptos:operación personalizada valor absoluto contraejemplo

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

La afirmación (C) sostiene que $x \heartsuit 0 = x,$ pero $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ lo cual falla para valores negativos de $x.$ Por ejemplo, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

Las demás afirmaciones se deducen directamente de las propiedades del valor absoluto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Statement (C) claims $x \heartsuit 0 = x,$ but $x \heartsuit 0 = |x - 0| = |x|,$ which fails for negative $x.$ For example, $-1 \heartsuit 0 = 1 \ne -1.$

The remaining statements all follow directly from the properties of absolute value.

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuántos triángulos no congruentes con perímetro $7$ tienen longitudes de lado enteras?

How many non-congruent triangles with perimeter $7$ have integer side lengths?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad triangular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1250

Solución:

El lado más largo no puede exceder $3,$ pues de lo contrario los otros dos lados no podrían alcanzarlo.

Las únicas posibilidades son lados $1$ - $3$ - $3$ y $2$ - $2$ - $3,$ lo que da $2$ triángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The longest side cannot exceed $3,$ since otherwise the other two sides could not reach it.

The only possibilities are side lengths $1$ - $3$ - $3$ and $2$ - $2$ - $3,$ giving $2$ triangles.

Thus, the correct answer is B.

8.

¿Cuál es la probabilidad de que un factor positivo de $60$ elegido al azar sea menor que $7$ ?

What is the probability that a randomly drawn positive factor of $60$ is less than $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: E

Conceptos:factor probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1250

Solución:

Los factores de $60$ son $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30,$ y $60.$

Seis de estos doce factores son menores que $7,$ así que la probabilidad es $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factors of $60$ are $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30,$ and $60.$

Six of these twelve factors are less than $7,$ so the probability is $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

9.

Simplifica $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}.$

Simplify $\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}.$

$\sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x^2}$

$\sqrt[27]{x^2}$

$\sqrt[54]{x}$

$\sqrt[81]{x^{80}}$

Respuesta: A

Conceptos:radical exponente

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Trabajando hacia afuera, $x\sqrt{x} = x^{3/2},$ y su raíz cúbica es $x^{1/2}.$

Luego $x \cdot x^{1/2} = x^{3/2},$ cuya raíz cúbica es de nuevo $x^{1/2}.$

Repitiendo una vez más, $x \cdot x^{1/2} = x^{3/2},$ cuya raíz cúbica es $x^{1/2} = \sqrt{x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Working outward, $x\sqrt{x} = x^{3/2},$ and its cube root is $x^{1/2}.$

Then $x \cdot x^{1/2} = x^{3/2},$ whose cube root is again $x^{1/2}.$

Repeating once more, $x \cdot x^{1/2} = x^{3/2},$ whose cube root is $x^{1/2} = \sqrt{x}.$

Thus, the correct answer is A.

10.

El polígono encerrado por las líneas continuas en la figura consta de $4$ cuadrados congruentes unidos borde con borde. Se adjunta un cuadrado congruente más a un borde en una de las nueve posiciones indicadas. ¿Cuántos de los nueve polígonos resultantes se pueden plegar para formar un cubo al que le falta una cara?

The polygon enclosed by the solid lines in the figure consists of $4$ congruent squares joined edge-to-edge. One more congruent square is attached to an edge at one of the nine positions indicated. How many of the nine resulting polygons can be folded to form a cube with one face missing?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Cuando se pliegan los cuatro cuadrados dados, dos pares de sus bordes se juntan para formar una banda de cuatro caras alrededor del cubo, dejando dos caras abiertas.

El quinto cuadrado se pliega hacia una de estas caras abiertas exactamente cuando está unido a lo largo de un borde libre. Esto funciona para $6$ de las $9$ posiciones; las otras $3$ se plegarían sobre una cara ya cubierta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

When the four given squares are folded, two pairs of their edges meet to form a band of four faces around the cube, leaving two faces open.

The fifth square folds into one of these open faces exactly when it is attached along a free edge. This works for $6$ of the $9$ positions; the other $3$ would fold onto a face already covered.

Thus, the correct answer is E.

11.

La suma de los dos números de $5$ cifras $AMC10$ y $AMC12$ es $123422.$ ¿Cuánto vale $A + M + C$ ?

The sum of the two $5$ -digit numbers $AMC10$ and $AMC12$ is $123422.$ What is $A + M + C?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Respuesta: E

Conceptos:criptoaritmética valor posicional

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Los dos números son $100 \cdot \overline{AMC} + 10$ y $100 \cdot \overline{AMC} + 12,$ así que su suma es $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422.$

Entonces $200 \cdot \overline{AMC} = 123400,$ así que $\overline{AMC} = 617.$

Por lo tanto $A + M + C = 6 + 1 + 7 = 14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two numbers equal $100 \cdot \overline{AMC} + 10$ and $100 \cdot \overline{AMC} + 12,$ so their sum is $200 \cdot \overline{AMC} + 22 = 123422.$

Then $200 \cdot \overline{AMC} = 123400,$ so $\overline{AMC} = 617.$

Therefore $A + M + C = 6 + 1 + 7 = 14.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Se elige al azar un punto $(x, y)$ dentro del rectángulo con vértices $(0, 0),$ $(4, 0),$ $(4, 1),$ y $(0, 1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $x \lt y$ ?

A point $(x, y)$ is randomly picked from inside the rectangle with vertices $(0, 0),$ $(4, 0),$ $(4, 1),$ and $(0, 1).$ What is the probability that $x \lt y?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad geométrica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

La condición $x \lt y$ se cumple en el triángulo delimitado por $y = x,$ $y = 1,$ y $x = 0,$ que tiene vértices $(0, 0),$ $(0, 1),$ y $(1, 1).$

Este triángulo tiene área $\dfrac{1}{2},$ mientras que el rectángulo tiene área $4.$

La probabilidad es $\dfrac{1/2}{4} = \dfrac{1}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The condition $x \lt y$ holds in the triangle bounded by $y = x,$ $y = 1,$ and $x = 0,$ which has vertices $(0, 0),$ $(0, 1),$ and $(1, 1).$

This triangle has area $\dfrac{1}{2},$ while the rectangle has area $4.$

The probability is $\dfrac{1/2}{4} = \dfrac{1}{8}.$

Thus, the correct answer is A.

13.

La suma de tres números es $20.$ El primero es $4$ veces la suma de los otros dos. El segundo es siete veces el tercero. ¿Cuál es el producto de los tres?

The sum of three numbers is $20.$ The first is $4$ times the sum of the other two. The second is seven times the third. What is the product of all three?

$28$

$40$

$100$

$400$

$800$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Sean los números $a,$ $b,$ $c.$ Como $a = 4(b + c),$ obtenemos $4(b + c) + (b + c) = 20,$ así que $b + c = 4$ y $a = 16.$

Con $b = 7c,$ tenemos $7c + c = 4,$ así que $c = \dfrac{1}{2}$ y $b = \dfrac{7}{2}.$

El producto es $16 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the numbers be $a,$ $b,$ $c.$ Since $a = 4(b + c),$ we get $4(b + c) + (b + c) = 20,$ so $b + c = 4$ and $a = 16.$

With $b = 7c,$ we have $7c + c = 4,$ so $c = \dfrac{1}{2}$ and $b = \dfrac{7}{2}.$

The product is $16 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 28.$

Thus, the correct answer is A.

14.

Sea $n$ el mayor entero que es el producto de exactamente $3$ números primos distintos, $d,$ $e,$ y $10d + e,$ donde $d$ y $e$ son cifras. ¿Cuál es la suma de las cifras de $n$ ?

Let $n$ be the largest integer that is the product of exactly $3$ distinct prime numbers, $d,$ $e,$ and $10d + e,$ where $d$ and $e$ are single digits. What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

Respuesta: A

Conceptos:primo dígitos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Tanto $d$ como $e$ son primos de una cifra, y $10d + e$ debe ser primo. Al probar las opciones más grandes, $75$ y $57$ no son primos.

Con $d = 7,$ $e = 3$ se obtiene el primo $73,$ y $n = 7 \cdot 3 \cdot 73 = 1533.$

La suma de sus cifras es $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Both $d$ and $e$ are single-digit primes, and $10d + e$ must be prime. Testing the largest options, $75$ and $57$ are not prime.

Using $d = 7,$ $e = 3$ gives the prime $73,$ and $n = 7 \cdot 3 \cdot 73 = 1533.$

The sum of its digits is $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is A.

15.

¿Cuál es la probabilidad de que un entero del conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ sea divisible entre $2$ y no divisible entre $3$ ?

What is the probability that an integer in the set $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ is divisible by $2$ and not divisible by $3?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{17}{50}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{18}{25}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

De los $100$ enteros, $50$ son divisibles entre $2.$

Entre esos, los que también son divisibles entre $3$ son los múltiplos de $6,$ de los cuales hay $16.$

Así que $50 - 16 = 34$ cumplen, lo que da una probabilidad de $\dfrac{34}{100} = \dfrac{17}{50}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Of the $100$ integers, $50$ are divisible by $2.$

Among those, the ones also divisible by $3$ are the multiples of $6,$ of which there are $16.$

So $50 - 16 = 34$ qualify, giving probability $\dfrac{34}{100} = \dfrac{17}{50}.$

Thus, the correct answer is C.

16.

¿Cuál es la cifra de las unidades de $13^{2003}$ ?

What is the units digit of $13^{2003}?$

$1$

$3$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: C

Conceptos:dígito de las unidades aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

La cifra de las unidades de $13^{2003}$ coincide con la de $3^{2003}.$

Las potencias de $3$ tienen cifras de las unidades que se repiten en el ciclo $3, 9, 7, 1$ con periodo $4.$

Como $2003 = 4 \cdot 500 + 3,$ la cifra de las unidades es la tercera del ciclo, que es $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The units digit of $13^{2003}$ matches that of $3^{2003}.$

Powers of $3$ have units digits cycling $3, 9, 7, 1$ with period $4.$

Since $2003 = 4 \cdot 500 + 3,$ the units digit is the third in the cycle, which is $7.$

Thus, the correct answer is C.

17.

El número de pulgadas del perímetro de un triángulo equilátero es igual al número de pulgadas cuadradas del área de su círculo circunscrito. ¿Cuál es el radio, en pulgadas, del círculo?

The number of inches in the perimeter of an equilateral triangle equals the number of square inches in the area of its circumscribed circle. What is the radius, in inches, of the circle?

$\dfrac{3\sqrt{2}}{\pi}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{6}{\pi}$

$\sqrt{3}\pi$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Sea la longitud del lado $s$ y el circunradio $R.$ A partir de un triángulo $30$ - $60$ - $90$ formado por el centro y un lado, $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}},$ así que $s = R\sqrt{3}.$

El perímetro es $3s = 3R\sqrt{3}$ y el área del círculo es $\pi R^2.$

Al igualarlos, $3R\sqrt{3} = \pi R^2,$ así que $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the side length be $s$ and the circumradius be $R.$ From a $30$ - $60$ - $90$ triangle formed by the center and a side, $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}},$ so $s = R\sqrt{3}.$

The perimeter is $3s = 3R\sqrt{3}$ and the circle's area is $\pi R^2.$

Setting them equal, $3R\sqrt{3} = \pi R^2,$ so $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

¿Cuál es la suma de los recíprocos de las raíces de la ecuación $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0$ ?

What is the sum of the reciprocals of the roots of the equation $\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?$

$-\dfrac{2004}{2003}$

$-1$

$\dfrac{2003}{2004}$

$1$

$\dfrac{2004}{2003}$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Sea $a = \dfrac{2003}{2004}.$ Multiplicar la ecuación por $x$ da $ax^2 + x + 1 = 0.$

Si las raíces son $r$ y $s,$ entonces por las fórmulas de Vieta $r + s = -\dfrac{1}{a}$ y $rs = \dfrac{1}{a}.$

La suma de los recíprocos es $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-1/a}{1/a} = -1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a = \dfrac{2003}{2004}.$ Multiplying the equation by $x$ gives $ax^2 + x + 1 = 0.$

If the roots are $r$ and $s,$ then by Vieta's formulas $r + s = -\dfrac{1}{a}$ and $rs = \dfrac{1}{a}.$

The sum of reciprocals is $\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-1/a}{1/a} = -1.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Un semicírculo de diámetro $1$ se apoya en la parte superior de un semicírculo de diámetro $2,$ como se muestra. El área sombreada dentro del semicírculo más pequeño y fuera del semicírculo más grande se llama lúnula. Determina el área de esta lúnula.

A semicircle of diameter $1$ sits at the top of a semicircle of diameter $2,$ as shown. The shaded area inside the smaller semicircle and outside the larger semicircle is called a lune. Determine the area of this lune.

$\dfrac{1}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{12}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{12}\pi$

Respuesta: C

Conceptos:sector circular descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El diámetro del semicírculo pequeño es una cuerda de longitud $1$ en el círculo grande. Al unir sus extremos con el centro del círculo grande se obtiene un triángulo equilátero de lado $1$ y área $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

La región entre la cuerda y el arco pequeño, junto con ese triángulo, tiene área $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8}.$

Al restar el sector de $60^\circ$ del círculo grande, de área $\dfrac{1}{6}\pi(1)^2 = \dfrac{\pi}{6},$ queda la lúnula: $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The small semicircle's diameter is a chord of length $1$ in the large circle. Joining its endpoints to the large circle's center gives an equilateral triangle of side $1$ and area $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

The region between the chord and the small arc, taken together with that triangle, has area $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8}.$

Subtracting the $60^\circ$ sector of the large circle, of area $\dfrac{1}{6}\pi(1)^2 = \dfrac{\pi}{6},$ leaves the lune: $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{24}.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Se selecciona al azar un número de tres cifras $n$ en base $10$ . ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la probabilidad de que la representación en base $9$ y la representación en base $11$ de $n$ sean ambas de tres cifras?

A base- $10$ three-digit number $n$ is selected at random. Which of the following is closest to the probability that the base- $9$ representation and the base- $11$ representation of $n$ are both three-digit numerals?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica probabilidad básica conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El mayor número de tres cifras en base $9$ es $9^3 - 1 = 728,$ y el menor número de tres cifras en base $11$ es $11^2 = 121.$

Así que ambas condiciones se cumplen exactamente cuando $121 \le n \le 728,$ lo que da $608$ enteros.

De los $900$ números de tres cifras, la probabilidad es $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The largest three-digit base- $9$ number is $9^3 - 1 = 728,$ and the smallest three-digit base- $11$ number is $11^2 = 121.$

So both conditions hold exactly when $121 \le n \le 728,$ giving $608$ integers.

Out of $900$ three-digit numbers, the probability is $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Pat debe seleccionar seis galletas de una bandeja que contiene solo galletas con chispas de chocolate, de avena y de mantequilla de maní. Hay al menos seis de cada una de estas tres clases de galletas en la bandeja. ¿Cuántos surtidos diferentes de seis galletas se pueden seleccionar?

Pat is to select six cookies from a tray containing only chocolate chip, oatmeal, and peanut butter cookies. There are at least six of each of these three kinds of cookies on the tray. How many different assortments of six cookies can be selected?

$22$

$25$

$27$

$28$

$729$

Respuesta: D

Conceptos:estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Un surtido queda determinado por cuántas de cada tipo se eligen, así que contamos las soluciones enteras no negativas de $a + b + c = 6.$

Por estrellas y barras, colocar $2$ separadores entre $8$ espacios da $\dbinom{8}{2} = 28$ surtidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An assortment is determined by how many of each type are chosen, so we count nonnegative integer solutions to $a + b + c = 6.$

By stars and bars, placing $2$ dividers among $8$ slots gives $\dbinom{8}{2} = 28$ assortments.

Thus, the correct answer is D.

22.

En el rectángulo $ABCD,$ tenemos $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ está en $\overline{BC}$ con $BH = 6,$ $E$ está en $AD$ con $DE = 4,$ la recta $EC$ corta a la recta $AH$ en $G,$ y $F$ está en la recta $AD$ con $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Halla la longitud $\overline{GF}.$

In rectangle $ABCD,$ we have $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ is on $\overline{BC}$ with $BH = 6,$ $E$ is on $AD$ with $DE = 4,$ line $EC$ intersects line $AH$ at $G,$ and $F$ is on line $AD$ with $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Find the length $\overline{GF}.$

$16$

$20$

$24$

$28$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Coloca $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ y $E = (4, 0).$

La recta $AH$ tiene ecuación $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ y la recta $EC$ tiene ecuación $y = -2x + 8.$

Al igualarlas se obtiene $x = -6$ y $y = 20,$ así que $G = (-6, 20).$ Como $\overline{GF}$ es perpendicular a la recta $AD$ (el eje $x$ ), su longitud es la altura $20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ and $E = (4, 0).$

Line $AH$ has equation $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ and line $EC$ has equation $y = -2x + 8.$

Setting them equal gives $x = -6$ and $y = 20,$ so $G = (-6, 20).$ Since $\overline{GF}$ is perpendicular to line $AD$ (the $x$ -axis), its length is the height $20.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Se construye un triángulo equilátero grande usando palillos para crear filas de pequeños triángulos equiláteros. Por ejemplo, en la figura tenemos $3$ filas de pequeños triángulos equiláteros congruentes, con $5$ triángulos pequeños en la fila base. ¿Cuántos palillos se necesitarían para construir un triángulo equilátero grande si la fila base del triángulo consta de $2003$ triángulos equiláteros pequeños?

A large equilateral triangle is constructed by using toothpicks to create rows of small equilateral triangles. For example, in the figure we have $3$ rows of small congruent equilateral triangles, with $5$ small triangles in the base row. How many toothpicks would be needed to construct a large equilateral triangle if the base row of the triangle consists of $2003$ small equilateral triangles?

$1{,}004{,}004$

$1{,}005{,}006$

$1{,}507{,}509$

$3{,}015{,}018$

$6{,}021{,}018$

Respuesta: C

Conceptos:sumatoria reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Un triángulo con $n$ filas tiene $2n - 1$ triángulos pequeños en su fila base, así que $2n - 1 = 2003$ da $n = 1002.$

Cada fila $k$ requiere $3k$ palillos, así que el total es $3(1 + 2 + \cdots + 1002).$

Esto es igual a $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A triangle with $n$ rows has $2n - 1$ small triangles in its base row, so $2n - 1 = 2003$ gives $n = 1002.$

Each row $k$ requires $3k$ toothpicks, so the total is $3(1 + 2 + \cdots + 1002).$

This equals $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Sally tiene cinco cartas rojas numeradas del $1$ al $5$ y cuatro cartas azules numeradas del $3$ al $6.$ Apila las cartas de modo que los colores se alternen y de modo que el número de cada carta roja divida exactamente al número de cada carta azul vecina. ¿Cuál es la suma de los números de las tres cartas centrales?

Sally has five red cards numbered $1$ through $5$ and four blue cards numbered $3$ through $6.$ She stacks the cards so that the colors alternate and so that the number on each red card divides evenly into the number on each neighboring blue card. What is the sum of the numbers on the middle three cards?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: E

Conceptos:divisibilidad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Entre las cartas azules $3, 4, 5, 6,$ la roja $5$ solo divide a $5$ y la roja $4$ solo divide a $4,$ así que esos pares deben ir en los extremos.

La roja $2$ solo divide a $4$ y $6,$ y la roja $3$ solo divide a $3$ y $6.$ Encadenar esto obliga a que la pila sea $R4,$ $B4,$ $R2,$ $B6,$ $R3,$ $B3,$ $R1,$ $B5,$ $R5.$

Las tres cartas centrales son $B6, R3, B3,$ que suman $6 + 3 + 3 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Among blue cards $3, 4, 5, 6,$ red $5$ divides only $5$ and red $4$ divides only $4,$ so those pairs must sit at the ends.

Red $2$ divides only $4$ and $6,$ and red $3$ divides only $3$ and $6.$ Chaining these forces the stack $R4,$ $B4,$ $R2,$ $B6,$ $R3,$ $B3,$ $R1,$ $B5,$ $R5.$

The middle three cards are $B6, R3, B3,$ summing to $6 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Sea $n$ un número de $5$ cifras, y sean $q$ y $r$ el cociente y el residuo, respectivamente, cuando $n$ se divide entre $100.$ ¿Para cuántos valores de $n$ es $q + r$ divisible entre $11$ ?

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Escribe $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Como $99q$ es un múltiplo de $11,$ $q + r$ es divisible entre $11$ si y solo si $n$ lo es.

Los múltiplos de $11$ de $5$ cifras satisfacen $10000 \le n \le 99999,$ y hay

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $n = 100q + r = (q + r) + 99q.$

Since $99q$ is a multiple of $11,$ $q + r$ is divisible by $11$ if and only if $n$ is.

The $5$ -digit multiples of $11$ satisfy $10000 \le n \le 99999,$ and there are

$\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

Problemas del 2003 AMC 10A

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: B

Solución: