Question

Se construye un triángulo equilátero grande usando palillos para crear filas de pequeños triángulos equiláteros. Por ejemplo, en la figura tenemos $3$ filas de pequeños triángulos equiláteros congruentes, con $5$ triángulos pequeños en la fila base. ¿Cuántos palillos se necesitarían para construir un triángulo equilátero grande si la fila base del triángulo consta de $2003$ triángulos equiláteros pequeños?

A large equilateral triangle is constructed by using toothpicks to create rows of small equilateral triangles. For example, in the figure we have $3$ rows of small congruent equilateral triangles, with $5$ small triangles in the base row. How many toothpicks would be needed to construct a large equilateral triangle if the base row of the triangle consists of $2003$ small equilateral triangles?

$1{,}004{,}004$

$1{,}005{,}006$

$1{,}507{,}509$

$3{,}015{,}018$

$6{,}021{,}018$

Solución:

Un triángulo con $n$ filas tiene $2n - 1$ triángulos pequeños en su fila base, así que $2n - 1 = 2003$ da $n = 1002.$

Cada fila $k$ requiere $3k$ palillos, así que el total es $3(1 + 2 + \cdots + 1002).$

Esto es igual a $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A triangle with $n$ rows has $2n - 1$ small triangles in its base row, so $2n - 1 = 2003$ gives $n = 1002.$

Each row $k$ requires $3k$ toothpicks, so the total is $3(1 + 2 + \cdots + 1002).$

This equals $3 \cdot \dfrac{1002 \cdot 1003}{2} = 1{,}507{,}509.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años