Question

Una pirámide con base cuadrada se corta con un plano paralelo a su base y a $2$ unidades de la base. El área de la superficie de la pirámide más pequeña que se corta de la parte superior es la mitad del área de la superficie de la pirámide original. ¿Cuál es la altura de la pirámide original?

A pyramid with a square base is cut by a plane that is parallel to its base and is $2$ units from the base. The surface area of the smaller pyramid that is cut from the top is half the surface area of the original pyramid. What is the altitude of the original pyramid?

$2$

$2+\sqrt2$

$1+2\sqrt2$

$4$

$4+2\sqrt2$

Solución:

Sea $h$ la altura de la pirámide original; la pirámide más pequeña tiene altura $h-2.$ Las dos pirámides son semejantes, así que la razón de sus áreas de superficie es el cuadrado de la razón de sus alturas.

El área de superficie menor es la mitad de la original, así que $\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12,$ lo que da $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.$

Entonces $h=\sqrt2(h-2),$ así que $h(\sqrt2-1)=2\sqrt2$ y $h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $h$ be the altitude of the original pyramid; the smaller pyramid has altitude $h-2.$ The two pyramids are similar, so the ratio of their surface areas is the square of the ratio of their altitudes.

The smaller surface area is half the original, so $\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12,$ giving $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.$

Then $h=\sqrt2(h-2),$ so $h(\sqrt2-1)=2\sqrt2$ and $h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2.$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años