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2007 AMC 10B Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2007 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Una pirámide con base cuadrada se corta con un plano paralelo a su base y a 22 unidades de ella. El área superficial de la pirámide pequeña cortada de la parte superior es la mitad del área superficial de la pirámide original. ¿Cuál es la altura de la pirámide original?
A pyramid with a square base is cut by a plane that is parallel to its base and is 22 units from the base. The surface area of the smaller pyramid that is cut from the top is half the surface area of the original pyramid. What is the altitude of the original pyramid?
22
2+22+\sqrt2
1+221+2\sqrt2
44
4+224+2\sqrt2
Respuesta: E
Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumenpirámideárea de superficie
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
La pirámide más pequeña es semejante a la original.
The smaller pyramid is similar to the original
Pista grande:
La razón de las áreas de superficie es el cuadrado de la razón de las alturas, así que hh−2=2\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.
The ratio of surface areas is the square of the ratio of altitudes, so hh−2=2\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2
Solución:
Sea hh la altura de la pirámide original; la pirámide más pequeña tiene altura h−2.h-2. Las dos pirámides son semejantes, así que la razón de sus áreas de superficie es el cuadrado de la razón de sus alturas.
El área de superficie menor es la mitad de la original, así que (h−2h)2=12,\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12, lo que da hh−2=2.\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.
Entonces h=2(h−2),h=\sqrt2(h-2), así que h(2−1)=22h(\sqrt2-1)=2\sqrt2 y h=222−1=4+22.h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let hh be the altitude of the original pyramid; the smaller pyramid has altitude h−2.h-2. The two pyramids are similar, so the ratio of their surface areas is the square of the ratio of their altitudes.
The smaller surface area is half the original, so (h−2h)2=12,\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12, giving hh−2=2.\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.
Then h=2(h−2),h=\sqrt2(h-2), so h(2−1)=22h(\sqrt2-1)=2\sqrt2 and h=222−1=4+22.h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2.
Thus, the correct answer is E.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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