Question

Un octágono regular $ABCDEFGH$ tiene un área de una unidad cuadrada. ¿Cuál es el área del rectángulo $ABEF$ ?

A regular octagon $ABCDEFGH$ has an area of one square unit. What is the area of the rectangle $ABEF?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

Solución:

Sea $O$ el centro. El octágono se divide en $8$ triángulos congruentes desde $O,$ así que $\triangle AOB$ tiene área $\dfrac18.$

Como $O$ es el punto medio de $AE,$ los triángulos $AOB$ y $BOE$ tienen igual área, así que $\triangle ABE$ tiene área $\dfrac14.$ El rectángulo $ABEF$ es el doble de esto, es decir $\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O$ be the center. The octagon splits into $8$ congruent triangles from $O,$ so $\triangle AOB$ has area $\dfrac18.$

Since $O$ is the midpoint of $AE,$ triangles $AOB$ and $BOE$ have equal area, so $\triangle ABE$ has area $\dfrac14.$ The rectangle $ABEF$ is twice this, namely $\dfrac12.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años