Question

正八边形 $ABCDEFGH$ 的面积为一平方单位。长方形 $ABEF$ 的面积是多少？

A regular octagon $ABCDEFGH$ has an area of one square unit. What is the area of the rectangle $ABEF?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

答案：D

知识点：正多边形面积分割对称性

难度评级：1660

小提示：

设 $O$ 是八边形中心，也是长方形 $ABEF$ 对角线的交点。

Let $O$ be the center of the octagon, where the diagonals of $ABEF$ meet

大提示：

三角形 $AOB$ 是组成八边形的八个全等三角形之一。

Triangle $AOB$ is one of the eight congruent triangles making up the octagon

解答：

设 $O$ 是中心。八边形可由 $O$ 分成 $8$ 个全等三角形，所以 $\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac18$ 。

由于 $O$ 是 $AE$ 的中点，三角形 $AOB$ 与 $BOE$ 面积相等，所以 $\triangle ABE$ 面积为 $\dfrac14$ 。长方形 $ABEF$ 的面积是它的两倍，即 $\dfrac12$ 。

所以正确答案是 D。

Let $O$ be the center. The octagon splits into $8$ congruent triangles from $O,$ so $\triangle AOB$ has area $\dfrac18.$

Since $O$ is the midpoint of $AE,$ triangles $AOB$ and $BOE$ have equal area, so $\triangle ABE$ has area $\dfrac14.$ The rectangle $ABEF$ is twice this, namely $\dfrac12.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 10B 第 23 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题