Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 86$ ，且 $AC=97$ 。以 $A$ 为圆心、 $AB$ 为半径的圆与 $\overline{BC}$ 交于点 $B$ 和 $X$ 。此外， $\overline{BX}$ 和 $\overline{CX}$ 的长度都是整数。 $BC$ 是多少？

In $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ and $AC=97.$ A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $\overline{BC}$ at points $B$ and $X.$ Moreover $\overline{BX}$ and $\overline{CX}$ have integer lengths. What is $BC?$

$11$

$28$

$33$

$61$

$72$

答案：D

知识点：圆幂质因数分解三角不等式

难度评级：2010

小提示：

从点 $C$ 使用圆的幂。

Use power of a point from $C$

大提示：

分解 $AC^2-AB^2$ ，再用三角形不等式选择有效因数对。

Factor $AC^2-AB^2$ and use the triangle inequality to choose the valid factor pair

解答：

由点 $C$ 的圆幂， $CB\cdot CX$ $=AC^2-AB^2$ $=97^2-86^2$ 。

右边等于 $(97-86)(97+86)$ $=11\cdot183$ $=2013$ $=3\cdot11\cdot61$ 。

$CX$ 和 $BX$ 都是整数，所以 $BC=BX+CX$ 是与 $CX$ 配对的整数因数。还需满足 $CX<BC<86+97=183$ ，唯一可行因数对为 $CX=33$ 、 $BC=61$ 。

所以正确答案是 D。

By power of a point from $C$ , $CB\cdot CX$ $=AC^2-AB^2$ $=97^2-86^2$ .

This equals $(97-86)(97+86)$ $=11\cdot183$ $=2013$ $=3\cdot11\cdot61$ .

Both $CX$ and $BX$ are integers, so $BC=BX+CX$ is an integer factor paired with $CX$ . Also $CX<BC<86+97=183$ , so the only possible pair is $CX=33$ , $BC=61$ .

Thus, D is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题