Question

有多少个正整数有序对 $(a, b)$ 满足方程

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b) \end{aligned}\text{，}$

其中 $\gcd(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公因数， $\operatorname{lcm}(a, b)$ 表示它们的最小公倍数。

How many ordered pairs $(a, b)$ of positive integers satisfy the equation

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

where $\gcd(a, b)$ denotes the greatest common divisor of $a$ and $b,$ and $\operatorname{lcm}(a, b)$ denotes their least common multiple?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

答案：B

知识点：最小公倍数最大公约数西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：2120

小提示：

使用 $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b)$ ；令 $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ ， $y = \gcd(a,b)$ 。

Use $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b);$ let $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ and $y = \gcd(a,b)$

大提示：

方程变为 $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59$ ；同时 $y$ 必须整除 $x$ 。

The equation becomes $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59;$ also $y$ must divide $x$

解答：

回忆 $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)$ 。令 $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ ， $y=\gcd(a,b)$ ，则原方程变为 $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59\text{。}$

正因数分解给出 $(x,y)=(13,197)$ 、 $(189,21)$ 、 $(15,79)$ 和 $(71,23)$ 。负因数分解会使 $x$ 或 $y$ 为负数，因此不可能。此外 $y$ 必须整除 $x$ ，只有 $(x,y)=(189,21)$ 满足这一点。

写成 $a=21u$ 和 $b=21v$ 。于是 $\gcd(u,v)=1$ 且 $uv=\frac{189}{21}=9$ ，所以 $(u,v)=(1,9)$ 或 $(9,1)$ 。因此符合条件的有序对是 $(21,189)$ 和 $(189,21)$ ，正确答案是 B。

Recall $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b).$ Let $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ and $y=\gcd(a,b).$ The equation becomes $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59.$

The positive factor pairs give $(x,y)=(13,197),$ $(189,21),$ $(15,79),$ and $(71,23).$ The negative factor pairs make either $x$ or $y$ negative, so they are impossible. Also $y$ must divide $x,$ and only $(x,y)=(189,21)$ passes.

Write $a=21u$ and $b=21v.$ Then $\gcd(u,v)=1$ and $uv=\frac{189}{21}=9,$ so $(u,v)=(1,9)$ or $(9,1).$ Hence the two ordered pairs are $(21,189)$ and $(189,21),$ and B is the correct answer.

2018 AMC 10B 第 23 题

答案：B

难度评级：2120

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题