Question

三角形 $\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 80$ 、 $BC = 45$ 、 $AC = 75$ 。 $\angle B$ 的角平分线与到边 $AB$ 的高相交于点 $P$ 。 $BP$ 等于多少？

Triangle $\triangle ABC$ has side lengths $AB = 80,$ $BC = 45,$ and $AC = 75.$ The bisector of $\angle B$ and the altitude to side $AB$ intersect at point $P.$ What is $BP?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

答案：D

知识点：角平分线定理相似导角

难度评级：2270

小提示：

设 $\angle B$ 的角平分线交 $AC$ 于 $D$ ；角平分线定理给出 $AD = 48$ 和 $CD = 27$ 。

Let the bisector of $\angle B$ meet $AC$ at $D;$ the Angle Bisector Theorem gives $AD = 48$ and $CD = 27$

大提示：

证明 $BD = 48$ ，所以 $\triangle ADB$ 是等腰三角形；再追角可知 $\triangle CDP$ 也是等腰三角形，且 $PD = CD$ 。

Show $BD = 48,$ so $\triangle ADB$ is isosceles; then angle-chase to find $\triangle CDP$ isosceles with $PD = CD$

解答：

设 $\angle B$ 的角平分线交 $AC$ 于 $D$ 。由角平分线定理， $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45}$ ，又因为 $AC = 75$ ，得到 $AD = 48$ 、 $CD = 27$ 。三角形 $BCD$ 与 $ACB$ 共有 $\angle C$ ，夹角两边的比例都为 $\tfrac{45}{75}=\tfrac{27}{45}=\tfrac35$ ，所以由边角边相似。于是 $BD=\tfrac35\cdot80=48=AD$ ，故 $\triangle ADB$ 是等腰三角形。设 $\angle DAB=\angle DBA=\theta$ 。因为过 $C$ 的高垂直于 $AB$ ，所以 $\angle DPC$ 和 $\angle DCP$ 都等于 $90^\circ-\theta$ 。因此 $\triangle CDP$ 是等腰三角形，故 $PD=CD=27$ 。由于 $P$ 位于 $BD$ 上，所以 $BP=BD-PD$ $=48-27=21$ 。所以正确答案是 D。

Let the bisector of $\angle B$ hit $AC$ at $D.$ By the Angle Bisector Theorem, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ and since $AC = 75,$ we get $AD = 48$ and $CD = 27.$ Triangles $BCD$ and $ACB$ share $\angle C,$ with adjacent sides in the common ratio $\tfrac{45}{75}=\tfrac{27}{45}=\tfrac35,$ so they are similar by SAS. Hence $BD=\tfrac35\cdot80=48=AD,$ making $\triangle ADB$ isosceles. Put $\angle DAB=\angle DBA=\theta.$ Because the altitude through $C$ is perpendicular to $AB,$ both $\angle DPC$ and $\angle DCP$ equal $90^\circ-\theta.$ Thus $\triangle CDP$ is isosceles, so $PD=CD=27.$ Since $P$ lies on $BD,$ we get $BP=BD-PD$ $=48-27=21.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：2270

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