Question

二元运算 $\diamondsuit$ 满足 $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ 以及 $a\,\diamondsuit \,a=1$ ，对所有非零实数 $a$ ， $b$ 和 $c$ 都成立。（这里的点号 $\cdot$ 表示通常的乘法运算。）方程 $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100$ 的解可写成 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 的值。

A binary operation $\diamondsuit$ has the properties that $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ and that $a\,\diamondsuit \,a=1$ for all nonzero real numbers $a,$ $b,$ and $c.$ (Here the dot $\cdot$ represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q?$

$109$

$201$

$301$

$3049$

$33{,}601$

答案：A

知识点：自定义运算函数方程

难度评级：1820

小提示：

先证明 $a\diamondsuit b=\frac{a}{b}$ 。

First prove $a\diamondsuit b=\frac{a}{b}$

大提示：

再计算 $2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)$ 。

Then compute $2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)$

解答：

因为 $a\diamondsuit a=1$ ，在 $a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c$ 中令 $b=c$ ，得 $a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b$ 。又由 $a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a$ ，可得 $a\diamondsuit1=a$ ，因此 $a\diamondsuit b=\frac ab$ 。

因此代入方程得到 $\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $x=\frac{25}{84}$ ， $p+q=25+84=109$ 。

所以正确答案是 A。

Since $a\diamondsuit a=1$ , substituting $b=c$ in $a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c$ gives $a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b$ . Also, using $a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a$ gives $a\diamondsuit1=a$ . Therefore $a\diamondsuit b=\frac ab$ .

The equation becomes $\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}$ Thus $x=\frac{25}{84}$ , so $p+q=25+84=109$ .

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A 第 23 题

答案：A

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题