Question

斐波那契数列定义为 $F_1 = 1$ 、 $F_2 = 1$ ，且当 $n \ge 3$ 时 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ 。下式的值是多少？

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}\text{？}$

The Fibonacci numbers are defined by $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ and $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ for $n \ge 3.$ What is

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

$318$

$319$

$320$

$321$

$322$

答案：B

知识点：斐波那契数列求和

难度评级：2270

小提示：

每一项是 $\dfrac{F_{2k}}{F_k}$ ；使用恒等式 $F_{2k} = F_k L_k$ ，其中 $L_k$ 是卢卡斯数。

Each term is $\dfrac{F_{2k}}{F_k};$ use the identity $F_{2k} = F_k L_k,$ where $L_k$ is the Lucas number

大提示：

和式变为 $L_1 + L_2 + \cdots + L_{10}$ ；卢卡斯数满足 $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ 。

The sum becomes $L_1 + L_2 + \cdots + L_{10};$ sums of Lucas numbers satisfy $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$

解答：

使用 $F_{2k} = F_k L_k$ ，于是每一项 $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k$ ，即第 $k$ 个卢卡斯数。原和变为 $\sum_{k=1}^{10} L_k$ 。由于 $L_1 = 1$ ， $L_2 = 3$ ， $L_3 = 4$ ， $\ldots$ ， $L_{10} = 123$ ，恒等式 $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ 给出 $L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319$ 。因此正确答案是 B。

Use $F_{2k} = F_k L_k,$ so each term $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k,$ the $k$ th Lucas number. That collapses the sum to $\sum_{k=1}^{10} L_k.$ With $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ $L_3 = 4,$ $\ldots,$ $L_{10} = 123,$ the identity $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ gives $L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10B 第 23 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题