Question

在正六边形 $ABCDEF$ 中，点 $W$ 、 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 分别选在边 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{EF}$ 、 $\overline{FA}$ 上，使直线 $AB$ 、 $ZW$ 、 $YX$ 、 $ED$ 互相平行且间距相等。六边形 $WCXYFZ$ 的面积与六边形 $ABCDEF$ 的面积之比是多少？

In regular hexagon $ABCDEF,$ points $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are chosen on sides $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FA}$ respectively, so lines $AB,$ $ZW,$ $YX,$ and $ED$ are parallel and equally spaced. What is the ratio of the area of hexagon $WCXYFZ$ to the area of hexagon $ABCDEF?$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{10}{27}$

$\ \dfrac{11}{27}$

$\ \dfrac{4}{9}$

$\ \dfrac{13}{27}$

答案：C

知识点：正多边形面积比相似

难度评级：2300

小提示：

延长 $\overline{FE}$ 和 $\overline{CD}$ ，直到它们相交。

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet

大提示：

比较以延长交点为公共顶点的三个相似三角形的面积。

Compare the areas of three similar triangles with vertex at the extension point

解答：

延长 $\overline{FE}$ 和 $\overline{CD}$ ，直到它们相交于点 $P$ 。

设 $d$ 为 $ZW$ 与 $FC$ 之间的距离。因为题中的四条直线彼此等距，且 $FC$ 恰好位于 $ZW$ 与 $YX$ 的正中间，所以 $ED$ 到 $ZW$ 的距离是 $2d$ 。设从 $P$ 到 $ED$ 的高为 $h$ 。等边三角形 $PED$ 与 $PFC$ 的边长之比为 $1:2$ ，所以它们的高满足 $h+3d=2h\text{，}$ 从而 $h=3d$ 。因此 $PZW$ 与 $PED$ 的边长之比为 $\frac{h+2d}{h}=\frac53\text{。}$

取 $[PED]=1$ ，由相似可得 $[PZW]=\frac{25}{9}$ 和 $[PFC]=4$ 。于是 $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3 \end{aligned}\text{。}$ 所求的六边形由两块全等的 $ZWCF$ 拼成，而正六边形由两块全等的 $EDCF$ 拼成。因此所求的比值是 $\frac{\frac{11}{9}}{3}=\frac{11}{27}$ 。

所以正确答案是 C。

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet at $P.$

Let $d$ be the distance between $ZW$ and $FC.$ Because the four given lines are equally spaced and $FC$ lies halfway between $ZW$ and $YX,$ the distance from $ED$ to $ZW$ is $2d.$ Let the altitude from $P$ to $ED$ be $h.$ The equilateral triangles $PED$ and $PFC$ have side lengths in the ratio $1:2,$ so their altitudes satisfy $h+3d=2h,$ giving $h=3d.$ Therefore the side-length ratio of $PZW$ to $PED$ is $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

Taking $[PED]=1,$ similarity gives $[PZW]=\frac{25}{9}$ and $[PFC]=4.$ Hence $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$ The desired hexagon consists of two congruent copies of $ZWCF,$ while the regular hexagon consists of two congruent copies of $EDCF.$ Thus the requested ratio is $\frac{\frac{11}{9}}{3}=\frac{11}{27}.$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B 第 23 题

答案：C

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题