2016 AMC 10B 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

当 $a= \tfrac{1}{2}$ 时，求 $\dfrac{2a^{-1}+\frac{a^{-1}}{2}}{a}$ 的值。

What is the value of $\dfrac{2a^{-1}+\frac{a^{-1}}{2}}{a}$ when $a= \tfrac{1}{2}?$

$\ 1$

$\ 2$

$\ \dfrac{5}{2}$

$\ 10$

$\ 20$

知识点：指数换元法

难度评级：770

小提示：

先把式子中的 $a$ 的幂合并，再代入 $a=\frac{1}{2}$ 。

Substitute $a=\frac{1}{2}$ after combining powers of $a$

大提示：

再除以 $a$ 会把 $a^{-1}$ 变成 $a^{-2}$ 。

Dividing by $a$ turns $a^{-1}$ into $a^{-2}$

解答：

原式等于 $2a^{-2}+\frac{a^{-2}}{2} = 2.5 (a^{-1})^2\text{。}$ 此时 $a^{-1}$ 等于 $\dfrac{1}{\frac 12} = 2$ ，所以原式为 $2.5\cdot 2^2 = 10$ 。

所以正确答案是 D。

The expression is equivalent to $2a^{-2}+\frac{a^{-2}}{2} = 2.5 (a^{-1})^2.$ Then $a^{-1}$ is equal to $\dfrac{1}{\frac 12} = 2,$ so our expression is equal to $2.5\cdot 2^2 = 10.$

Thus, the correct answer is D .

2.

若 $n\heartsuit m=n^3m^2$ ，则 $\frac{2\heartsuit 4}{4\heartsuit 2}$ 等于多少？

If $n\heartsuit m=n^3m^2,$ what is $\frac{2\heartsuit 4}{4\heartsuit 2}?$

$\ \dfrac{1}{4}$

$\ \dfrac{1}{2}$

$\ 1$

$\ 2$

$\ 4$

知识点：自定义运算指数

难度评级：870

小提示：

先用符号形式计算这个运算的比值。

Compute the operation ratio symbolically first

大提示：

$\frac{n\heartsuit m}{m\heartsuit n}=\frac nm$ 。

$\frac{n\heartsuit m}{m\heartsuit n}=\frac nm$

解答：

对任意非零 $a,b$ ，有 $\dfrac{a\heartsuit b}{b\heartsuit a} = \dfrac{a^3b^2}{b^3 a^2} = \dfrac ab \text{。}$ 令 $a=2,b=4$ ，得到 $\frac{ 2}{4} = \frac 12$ 。

所以正确答案是 B。

For any nonzero $a,b,$ we have $\dfrac{a\heartsuit b}{b\heartsuit a} = \dfrac{a^3b^2}{b^3 a^2} = \dfrac ab .$ Using $a=2,b=4,$ we get that $\frac{ 2}{4} = \frac 12.$

Thus, the correct answer is B .

3.

令 $x=-2016$ 。求下式的值： $\Bigg\vert\Big\vert |x|-x\Big\vert-|x|\Bigg\vert-x\text{？}$

Let $x=-2016.$ What is the value of $\Bigg\vert\Big\vert |x|-x\Big\vert-|x|\Bigg\vert-x?$

$\ -2016$

$\ 0$

$\ 2016$

$\ 4032$

$\ 6048$

知识点：绝对值

难度评级：960

小提示：

当 $x<0$ 时， $|x|=-x$ 。

For $x<0$ , $|x|=-x$

大提示：

从最里面的绝对值开始向外计算。

Evaluate the absolute values from the inside outward

解答：

由 $x=-2016<0$ 可知 $|x|=2016$ ，所以 $\begin{aligned} |x|-x&=2016-(-2016) \\ &=4032 \end{aligned}\text{，}$ 最内层的绝对值为 $4032$ 。因此整个表达式为 $|4032-2016|+2016=4032\text{。}$

所以正确答案是 D。

Since $x=-2016<0,$ we have $|x|=2016.$ Thus $\begin{aligned} |x|-x&=2016-(-2016) \\ &=4032, \end{aligned}$ so the innermost absolute value is $4032.$ Therefore the full expression is $|4032-2016|+2016=4032.$

Thus, the correct answer is D .

4.

Zoey 一本一本地读了 $15$ 本书。第一本书花了她 $1$ 天，第二本花了 $2$ 天，第三本花了 $3$ 天，依此类推，每一本都比前一本多花 $1$ 天。Zoey 在星期一读完第一本书，在星期三读完第二本书。她会在星期几读完第 $15$ 本书？

Zoey read $15$ books, one at a time. The first book took her $1$ day to read, the second book took her $2$ days to read, the third book took her $3$ days to read, and so on, with each book taking her $1$ more day to read than the previous book. Zoey finished the first book on a Monday, and the second on a Wednesday. On what day of the week did she finish her $15$ th book?

星期日

Sunday

星期一

Monday

星期三

Wednesday

星期五

Friday

星期六

Saturday

知识点：三角形数模运算

难度评级：1020

小提示：

总阅读天数是 $1+2+\cdots+15$ 。

The total reading time is $1+2+\cdots+15$

大提示：

把第 $15$ 本读完的日期与第 $1$ 本读完的日期模 $7$ 比较。

Compare the finish day of book $15$ with the finish day of book $1$ modulo $7$

解答：

读完 $15$ 本书共需要 $\dfrac{ 15\cdot 16}{2} =120$ 天。因此第十五本读完是在第一本读完后的 $120-1=119$ 天。因为这是 $7$ 的倍数，所以第 $15$ 本是在与第 $1$ 本相同的星期几读完的，也就是星期一。

所以正确答案是 B。

The number of days it takes to read $15$ books is $\dfrac{ 15\cdot 16}{2} =120.$ Therefore, it is $120-1=119$ days after the first book is read. This is a multiple of $7,$ so the $15$ th book was finished on the same day as the $1$ st book. Therefore, it was finished on a Monday.

Thus, the correct answer is B .

5.

Amanda 的 $4$ 个表亲的平均年龄是 $8$ ，年龄中位数是 $5$ 。她最小和最大的两个表亲的年龄之和是多少？

The mean age of Amanda’s $4$ cousins is $8,$ and their median age is $5.$ What is the sum of the ages of Amanda’s youngest and oldest cousins?

$\ 13$

$\ 16$

$\ 19$

$\ 22$

$\ 25$

知识点：平均数中位数（数据）

难度评级：900

小提示：

四个人的年龄总和是 $4\cdot8$ 。

The total age is $4\cdot8$

大提示：

中间两个年龄的和是 $10$ 。

The two middle ages sum to $10$

解答：

四个年龄的总和是 $4\cdot8=32$ 。由于中位数是 $5$ ，中间两个年龄的平均数是 $5$ ，所以它们的和是 $10$ 。

因此最小年龄与最大年龄的和为 $32-10=22$ 。

所以正确答案是 D。

The total of the four cousin ages is $4\cdot8=32$ . Since the median is $5$ , the two middle ages have average $5$ , so their sum is $10$ .

Therefore the youngest and oldest ages sum to $32-10=22$ .

Thus, the correct answer is D.

6.

Laura 把两个三位正整数相加。这两个数中的六个数字互不相同。她得到的和是一个三位数 $S$ 。 $S$ 的各位数字之和最小可能是多少？

Laura added two three-digit positive integers. All six digits in these numbers are different. Laura’s sum is a three-digit number $S.$ What is the smallest possible value for the sum of the digits of $S?$

$\ 1$

$\ 4$

$\ 5$

$\ 15$

$\ 21$

知识点：数字极端原理

难度评级：960

小提示：

说明数字和小于 $4$ 不可能。

Show a digit sum below $4$ is impossible

大提示：

$157+243=400$ 可以达到数字和 $4$ 。

$157+243=400$ reaches digit sum $4$

解答：

为使两个加数的和尽量小，百位取两个最小的非零数字 $1$ 和 $2$ ，剩下的四个数位取余下最小的四个数字 $0,3,4,5$ 。把较小的数字放在十位上可知，任何可能的和都至少是 $104+235=339$ 。另一方面，数字和小于 $4$ 的三位数最大也只有 $300$ 。因此 $S$ 的数字和至少为 $4$ 。

例子 $157+243=400$ 使用六个互不相同的数字，且数字和为 $4$ 。因此最小可能值是 $4$ 。

所以正确答案是 B。

To minimize the sum of the addends, use the two smallest nonzero hundreds digits, $1$ and $2$ , and then the four smallest remaining digits, $0,3,4,5$ . Placing the smaller digits in the tens places shows that every possible sum is at least $104+235=339$ . On the other hand, any three-digit number with digit sum less than $4$ is at most $300$ . Therefore the digit sum of $S$ is at least $4$ .

The example $157+243=400$ uses six distinct digits and has digit sum $4$ . Thus the smallest possible digit sum is $4$ .

Thus, the correct answer is B.

7.

两个锐角的度数之比为 $5:4$ ，且其中一个角的余角是另一个角的余角的两倍。这两个角的度数之和是多少？

The ratio of the measures of two acute angles is $5:4,$ and the complement of one of these two angles is twice as large as the complement of the other. What is the sum of the degree measures of the two angles?

$\ 75$

$\ 90$

$\ 135$

$\ 150$

$\ 270$

知识点：比与比例一次方程

难度评级：1070

小提示：

设较小的锐角为 $x$ 。

Let the smaller acute angle be $x$

大提示：

较大的角有较小的余角。

The larger angle has the smaller complement

解答：

设较小角为 $x$ 。则较大角为 $\frac 54 x$ ，两角和为 $\frac 94 x$ 。

它们的余角分别是 $90-x$ 与 $90 - \frac 54x$ 。由于 $90-x$ 大于 $90-\frac 54 x$ ，所以 $\begin{aligned}90 -x &= 2\left(90 - \frac 54 x\right) \\90-x&= 180-\frac 52 x\\x&=60\end{aligned}\text{。}$

因此两角和为 $\dfrac 94 \cdot 60=135\text{。}$

所以正确答案是 C。

Let the smaller angle be $x.$ Then, the larger angle is $\frac 54 x.$ Note that their sum is $\frac 94 x.$

Their complements are then $90-x$ and $90 - \frac 54x.$ Since $90-x$ is larger than $90-\frac 54 x,$ we know $\begin{aligned}90 -x &= 2\left(90 - \frac 54 x\right) \\90-x&= 180-\frac 52 x\\x&=60.\end{aligned}$

Therefore, the sum is $\dfrac 94 \cdot 60=135.$

Thus, the correct answer is C .

8.

$2015^{2016}-2017$ 的十位数字是多少？

What is the tens digit of $2015^{2016}-2017?$

$\ 0$

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 8$

知识点：模运算中国剩余定理

难度评级：1420

小提示：

为了得到十位数字，计算这个数模 $100$ 。

Work modulo $100$ to get the tens digit

大提示：

分别使用模 $4$ 和模 $25$ 的同余。

Use congruences modulo $4$ and $25$

解答：

为了求十位数字，先求该数模 $100$ 的余数。先求 $2015^{2016} \mod 100$ ，可用中国剩余定理分别考虑 $\mod 4$ 和 $\mod 25$ 。

有 $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ 因为它是 $25$ 的倍数。

另一方面，底数除以四的余数为负一，所以 $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4\text{。}$

由中国剩余定理可知，这个数同余于 $25 \mod 100$ 。

因此 $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100\text{。}$ 这说明十位数字是 $0$ 。

所以正确答案是 A。

To find the tens digit, we first need to find the number modulo $100.$ First, we can find $2015^{2016} \mod 100.$ We can do this with the Chinese Remainder Theorem by first getting the number $\mod 4$ and then $\mod 25.$

The number $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ since it is a multiple of $25.$

Then, observe that $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4 .$

By the Chinese remainder theorem, we can get that our number is congruent to $25 \mod 100.$

Therefore, $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100 .$ This means the tens digit is $0.$

Thus, the correct answer is A .

9.

$\bigtriangleup ABC$ 的三个顶点都在抛物线 $y=x^2$ 上，其中 $A$ 在原点，且 $\overline{BC}$ 平行于 $x$ 轴。若三角形面积为 $64$ ，则 $BC$ 的长度是多少？

All three vertices of $\bigtriangleup ABC$ lie on the parabola defined by $y=x^2,$ with $A$ at the origin and $\overline{BC}$ parallel to the $x$ -axis. The area of the triangle is $64.$ What is the length of $BC?$

$\ 4$

$\ 6$

$\ 8$

$\ 10$

$\ 16$

知识点：抛物线三角形面积坐标几何

难度评级：1280

小提示：

使用对称点 $(-t,t^2)$ 与 $(t,t^2)$ 。

Use symmetric points $(-t,t^2)$ and $(t,t^2)$

大提示：

三角形的面积是 $t^3$ 。

The triangle area is $t^3$

解答：

设三个顶点为 $A=(0,0)\text{，}$ $B=(x_1,y_1)\text{，}$ $C=(x_2,y_2)\text{。}$

因为 $BC$ 平行于 $x$ 轴，所以 $y_1=y_2$ ，记为 $y$ 。又两点都在抛物线上， $x_1^2 = y=x_2^2$ ，即 $x_1^2=x_2^2$ 。因此 $x_1=-x_2$ 或 $x_1 = x_2$ 。后一种会让两点重合，面积为 $0$ 。所以令 $x= -x_1=x_2$ ，同时 $y=x^2$ 。

于是点为 $A=(0,0)\text{，}$ $B=(-x,x^2)\text{，}$ $C=(x,x^2)\text{。}$ 以 $BC$ 为底时，底长为 $2x$ ，高为 $x^2$ ，面积为 $x^3 = 64$ 。因此 $x=4$ ，所以 $BC = 2\cdot 4 = 8$ 。

所以正确答案是 C。

Let the points be $A=(0,0),$ $B=(x_1,y_1),$ $C=(x_2,y_2).$

Then, since $BC$ is parallel with the $x$ -axis, we know $y_1=y_2,$ which we will let be $y.$ Then, $x_1^2 = y=x_2^2,$ so $x_1^2=x_2^2 .$ This implies that either $x_1=-x_2$ or $x_1 = x_2.$ The second option cannot happen since that would set two points as the same, which would create an area of $0.$ As such, let $x= -x_1=x_2.$ Then $y=x^2$ also.

Then, the points are $A=(0,0),$ $B=(-x,x^2),$ $C=(x,x^2).$ With a base of $BC,$ the length is $2x$ and the height is $x^2.$ This would make the area $x^3 = 64.$ Therefore, $x=4,$ so $BC = 2\cdot 4 = 8.$

Thus, the correct answer is C .

10.

一块均匀密度的薄木板是边长为 $3$ 英寸的等边三角形，重 $12$ 盎司。另一块同种木材、同样厚度的等边三角形木板边长为 $5$ 英寸。下面哪个数最接近第二块木板的重量（盎司）？

A thin piece of wood of uniform density in the shape of an equilateral triangle with side length $3$ inches weighs $12$ ounces. A second piece of the same type of wood, with the same thickness, also in the shape of an equilateral triangle, has side length $5$ inches. Which of the following is closest to the weight, in ounces, of the second piece?

$\ 14.0$

$\ 16.0$

$\ 20.0$

$\ 33.3$

$\ 55.6$

知识点：相似长度、面积与体积的缩放关系

难度评级：960

小提示：

厚度和密度固定时，重量按面积比例缩放。

Weights scale like areas because thickness and density are fixed

大提示：

边长的缩放因子是 $\frac{5}{3}$ 。

The side-length scale factor is $\frac{5}{3}$

解答：

面积按 $\frac 53 ^2$ 倍增加，因为边长按 $\frac 53$ 倍增加。厚度不变，所以体积也按同样倍数增加。又因为木材密度相同，重量也按 $\frac 53^2$ 倍增加，于是新重量为 $12 \cdot \dfrac {25}{9} = \dfrac{100}3\text{。}$ 约为 $33.3$ 。

所以正确答案是 D。

The surface area is increased by a factor of $\frac 53 ^2$ since the side lengths are increased by a factor of $\frac 53.$ Also since the thickness is constant, the volume is scaled up by that much. Then, the wood having the same density makes the weight increase by a factor of $\frac 53^2$ as well, so the new weight is $12 \cdot \dfrac {25}{9} = \dfrac{100}3.$ This is approximately $33.3.$

Thus, the correct answer is D .

11.

Carl 决定给他的长方形花园围篱笆。他买了 $20$ 根柱子，四个角各放一根，其余柱子沿花园边均匀放置，相邻柱子之间恰好相隔 $4$ 码。较长边（包括两端角上的柱子）上的柱子数是较短边的两倍。Carl 的花园面积是多少平方码？

Carl decided to fence in his rectangular garden. He bought $20$ fence posts, placed one on each of the four corners, and spaced out the rest evenly along the edges of the garden, leaving exactly $4$ yards between neighboring posts. The longer side of his garden, including the corners, has twice as many posts as the shorter side, including the corners. What is the area, in square yards, of Carl’s garden?

$\ 256$

$\ 336$

$\ 384$

$\ 448$

$\ 512$

知识点：方程组周长面积植树问题

难度评级：1280

小提示：

设短边和长边上包括角柱在内的柱子数分别为 $s$ 和 $l$ 。

Let $s$ and $l$ be posts on the short and long sides, including corners

大提示：

使用 $l=2s$ 和 $2l+2s-4=20$ 。

Use $l=2s$ and $2l+2s-4=20$

解答：

设长边上有 $l$ 根柱子，短边上有 $s$ 根柱子，均包括两个角。总柱子数为 $2l+2s-4=20\text{，}$ 其中 $-4$ 是为了避免四个角被重复计算。

又长边柱子数是短边的两倍，所以 $l=2s$ 。代入得 $2(2s)+2s-4=20$ ，因此 $s=4$ ， $l=8$ 。

短边有 $3$ 个间隔，长边有 $7$ 个间隔，每个间隔 $4$ 码，所以边长分别为 $12$ 和 $28$ ，面积为 $12\cdot28=336$ 。

所以正确答案是 B。

Let $l$ be the number of posts on a long side, including corners, and let $s$ be the number of posts on a short side, including corners. The total number of posts is $2l+2s-4=20,$ where the $-4$ avoids double-counting the corners.

Since a long side has twice as many posts as a short side, $l=2s$ . Thus $2(2s)+2s-4=20$ , so $s=4$ and $l=8$ .

There are $3$ equal gaps on a short side and $7$ equal gaps on a long side. With $4$ yards between neighboring posts, the side lengths are $12$ and $28$ , so the area is $12\cdot28=336$ .

Thus, the correct answer is B.

12.

从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中随机选出两个不同的数并相乘。乘积为偶数的概率是多少？

Two different numbers are selected at random from $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ and multiplied together. What is the probability that the product is even?

$\ 0.2$

$\ 0.4$

$\ 0.5$

$\ 0.7$

$\ 0.8$

知识点：基本概率补集计数奇偶性

难度评级：960

小提示：

反过来数乘积为奇数的数对。

Count the odd-product pairs instead

大提示：

总共有 $\binom52$ 对，其中奇数对有 $\binom32$ 对。

There are $\binom32$ odd pairs out of $\binom52$ pairs

解答：

乘积为奇数当且仅当两个数都是奇数。有 $\binom 32=3$ 种奇数对，总共有 $\binom 52=10$ 种数对。因此乘积为奇数的概率为 $\frac 3{10} = 0.3$ ，乘积为偶数的概率为 $1-0.3=0.7$ 。

所以正确答案是 D。

The product is odd if and only if both numbers are odd. There are $\binom 32=3$ ways to do this out of a possible $\binom 52=10$ ways. This makes the probability of it being odd equal to $\frac 3{10} = 0.3.$ This means the probability it is even is $1-0.3=0.7.$

Thus, the correct answer is D .

13.

某年 Megapolis 医院的多胞胎统计如下：双胞胎、三胞胎、四胞胎一共占 $1000$ 个出生婴儿。三胞胎组数是四胞胎组数的四倍，双胞胎组数是三胞胎组数的三倍。这 $1000$ 个婴儿中，有多少个属于四胞胎？

At Megapolis Hospital one year, multiple-birth statistics were as follows: Sets of twins, triplets, and quadruplets accounted for $1000$ of the babies born. There were four times as many sets of triplets as sets of quadruplets, and there were three times as many sets of twins as sets of triplets. How many of these $1000$ babies were in sets of quadruplets?

$\ 25$

$\ 40$

$\ 64$

$\ 100$

$\ 160$

知识点：方程组

难度评级：1140

小提示：

设双胞胎、三胞胎、四胞胎的组数分别为 $w,r,q$ 。

Let $w,r,q$ be the numbers of twin, triplet, and quadruplet sets

大提示：

使用 $r=4q$ 和 $w=3r$ 。

Use $r=4q$ and $w=3r$

解答：

设双胞胎、三胞胎、四胞胎的组数分别为 $w,r,q$ 。婴儿总数给出 $2w+3r+4q=1000\text{。}$ 条件给出 $r=4q$ ，且 $w=3r=12q$ 。

代入得 $2(12q)+3(4q)+4q$ $=40q=1000$ ，所以 $q=25$ 。四胞胎中的婴儿数为 $4q=100$ 。

所以正确答案是 D。

Let $w,r,q$ be the numbers of sets of twins, triplets, and quadruplets. Then $2w+3r+4q=1000.$ The statement gives $r=4q$ and $w=3r=12q$ .

Substituting gives $2(12q)+3(4q)+4q$ $=40q=1000$ , so $q=25$ . The number of babies in sets of quadruplets is $4q=100$ .

Thus, the correct answer is D.

14.

有多少个边平行于坐标轴、顶点坐标都是整数的正方形完全位于由直线 $y=\pi x$ 、直线 $y=-0.1$ 和直线 $x=5.1$ 围成的区域内？

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line $y=\pi x,$ the line $y=-0.1$ and the line $x=5.1?$

$\ 30$

$\ 41$

$\ 45$

$\ 50$

$\ 57$

知识点：格点图形中的形状计数分类讨论

难度评级：1970

小提示：

对每一种边长，数可能的左上顶点格点。

For each square size, count possible top-left lattice points

大提示：

只有边长 $1,2,3$ 的正方形能放入。

Only side lengths $1,2,3$ can fit

解答：

正方形必须在 $y=-0.1$ 上方、 $x=5.1$ 左方、且在 $y=\pi x$ 下方。因为 $\pi$ 略大于 $3$ ，在 $x=1,2,3,4$ 处可用的整数高度分别是 $3,6,9,12$ ，边长大于 $3$ 的正方形不能完全放入。

按左上顶点和边长计数。边长为 $1$ 时有 $3+6+9+12=30$ 个；边长为 $2$ 时有 $2+5+8=15$ 个；边长为 $3$ 时有 $1+4=5$ 个。

总数为 $30+15+5=50$ 。

所以正确答案是 D。

A square must lie above $y=-0.1$ , to the left of $x=5.1$ , and below $y=\pi x$ . Since $\pi$ is a little more than $3$ , the lattice heights available at $x=1,2,3,4$ are $3,6,9,12$ , and side lengths larger than $3$ cannot fit.

Count by side length using the top-left lattice point. For side length $1$ , there are $3+6+9+12=30$ choices. For side length $2$ , there are $2+5+8=15$ choices. For side length $3$ , there are $1+4=5$ choices.

The total is $30+15+5=50$ .

Thus, the correct answer is D.

15.

把数字 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $9$ 填入一个 $3\times3$ 方格阵列，每格一个数，使得任意两个连续数字所在方格都共边。四个角上的数字之和为 $18$ 。中心格中的数字是多少？

All the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ are written in a $3\times3$ array of squares, one number in each square, in such a way that if two numbers are consecutive then they occupy squares that share an edge. The numbers in the four corners add up to $18.$ What is the number in the center?

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

$\ 8$

$\ 9$

知识点：奇偶性逻辑推理

难度评级：1420

小提示：

相邻的连续数字奇偶性相反。

Adjacent consecutive numbers have opposite parity

大提示：

中心和四个角必须具有相同的奇偶性。

The center and four corners must all have the same parity

解答：

把方阵像棋盘一样染色，使中心和四个角是一种颜色，四个边格是另一种颜色。相邻整数占据相邻格，所以路径 $1,2,\ldots,9$ 的颜色交替。因此五个奇数全在一个颜色类中，四个偶数全在另一个颜色类中。

由中心和四个角组成的颜色类有五个格子，所以其中放的是五个奇数。因此四角与中心之和为 $1+3+5+7+9=25\text{。}$

由于四个角的和为 $18$ ，中心的数为 $25-18=7$ 。

所以正确答案是 C。

Color the array like a checkerboard, with the center and four corners one color and the four edge squares the other color. Consecutive numbers occupy adjacent squares, so the path $1,2,\ldots,9$ alternates colors. Therefore all five odd numbers occupy one color class and all four even numbers occupy the other.

The color class consisting of the center and four corners has five squares, so it contains the five odd numbers. Hence the sum of the corners and center is $1+3+5+7+9=25.$

Since the corners have a sum of $18,$ the center has a value of $25-18=7.$

Thus, the correct answer is C .

16.

一个无穷等比级数的和是正数 $S$ ，且该级数的第二项是 $1$ 。 $S$ 的最小可能值是多少？

The sum of an infinite geometric series is a positive number $S,$ and the second term in the series is $1.$ What is the smallest possible value of $S?$

$\ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\ 2$

$\ \sqrt{5}$

$\ 3$

$\ 4$

知识点：等比数列配方法最优化

难度评级：1540

小提示：

设首项为 $a$ ，公比为 $r$ 。

Write the first term as $a$ and common ratio as $r$

大提示：

条件 $ar=1$ 使得 $S=\frac{1}{r(1-r)}$ 。

The condition $ar=1$ makes $S=\frac{1}{r(1-r)}$

解答：

设首项为 $a$ ，公比为 $r$ 。由第二项为一可得 $\begin{aligned}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ &= \dfrac{ar}{r(1-r)} \\&= \dfrac{1}{r(1-r)}\end{aligned}\text{。}$ 因此要使级数和最小，就要找使下式最大的 $r$ ： $r(1-r)= 0.25-(r-0.5)^2\text{。}$ 这个最大值在 $r=0.5$ 时取到。

所以 $S = \dfrac{1}{0.5(0.5)}= 4$ 。

所以正确答案是 E。

Let the first value of the series be $a,$ and let the ratio be $r.$ Thus, $\begin{aligned}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ &= \dfrac{ar}{r(1-r)} \\&= \dfrac{1}{r(1-r)}.\end{aligned}$ This means we have to find $r$ that maximizes $r(1-r)= 0.25-(r-0.5)^2.$ This maximization will happen with $r=0.5.$

Therefore, $S = \dfrac{1}{0.5(0.5)}= 4.$

Thus, the correct answer is E .

17.

把数字 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 分配到一个立方体的六个面上，每个面一个数。对立方体的每个顶点，计算包含该顶点的三个面上的三个数的乘积。所有八个顶点的这些乘积之和最大可能是多少？

All the numbers $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ are assigned to the six faces of a cube, one number to each face. For each of the eight vertices of the cube, a product of three numbers is computed, where the three numbers are the numbers assigned to the three faces that include that vertex. What is the greatest possible value of the sum of these eight products?

$\ 312$

$\ 343$

$\ 625$

$\ 729$

$\ 1680$

知识点：正方体最优化算术-几何平均不等式

难度评级：1880

小提示：

把立方体的相对面配成三对。

Pair opposite faces of the cube

大提示：

最大化 $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2)$ 。

Maximize $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2)$

解答：

把三对相对面上的数记为 $(a_1,a_2)$ 、 $(b_1,b_2)$ 、 $(c_1,c_2)$ 。每个顶点的乘积从每一对中各取一个数，所以八个顶点乘积之和为 $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2)\text{。}$

六个面上数字之和为 $2+3+4+5+6+7=27$ ，所以三对相对面之和的总和为 $27$ 。它们的乘积在尽量相等时最大，即 $9,9,9$ ，最大为 $9^3=729$ 。

这个最大值可以通过把 $2$ 与 $7$ 、 $3$ 与 $6$ 、 $4$ 与 $5$ 配成相对面来达到。因此最大可能和为 $729$ 。

所以正确答案是 D。

Pair opposite faces as $(a_1,a_2)$ , $(b_1,b_2)$ , and $(c_1,c_2)$ . Each vertex product uses one number from each pair, so the sum of all eight vertex products is $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2).$

The six face labels sum to $2+3+4+5+6+7=27$ , so the three opposite-pair sums have total $27$ . Their product is maximized when the sums are as equal as possible, namely $9,9,9$ , giving at most $9^3=729$ .

This maximum is attainable by pairing $2$ with $7$ , $3$ with $6$ , and $4$ with $5$ . Hence the greatest possible sum is $729$ .

Thus, the correct answer is D.

18.

$345$ 可以用多少种方式写成两个或更多个连续正整数的递增序列之和？

In how many ways can $345$ be written as the sum of an increasing sequence of two or more consecutive positive integers?

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

知识点：等差数列因数个数

难度评级：1660

小提示：

若长度为 $s$ ，则 $s(2x+s-1)=690$ 。

If the length is $s$ , then $s(2x+s-1)=690$

大提示：

检查能使 $x$ 为正整数的因子长度。

Check factor lengths that give positive integer $x$

解答：

设这个数列的长度为 $s$ ，首项为 $x$ 。于是 $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right)\text{，}$ 即 $s(2x+s-1)=690\text{。}$

因此 $s$ 必须是 $690$ 的因子，而且 $x=\frac{\frac{690}{s}-s+1}{2}$ 要是正整数。逐一检查可能的因子长度，得到 $s=2,3,5,6,10,15,23\text{。}$ 只有这些长度才能让 $x$ 保持为正整数。

因此共有 $7$ 种表示。

所以正确答案是 E。

Suppose the sequence has length $s$ and first term $x$ . Then $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right),$ or $s(2x+s-1)=690.$

Thus $s$ must be a divisor of $690$ , with $x=\frac{\frac{690}{s}-s+1}{2}$ a positive integer. Checking the possible divisor lengths gives $s=2,3,5,6,10,15,23.$ These are the only lengths that keep $x$ positive and integral.

Therefore there are $7$ representations.

Thus, the correct answer is E.

19.

长方形 $ABCD$ 中， $AB=5$ ， $BC=4$ 。点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $EB=1$ ，点 $G$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $CG=1$ ，点 $F$ 在 $\overline{CD}$ 上且 $DF=2$ 。线段 $\overline{AG}$ 与 $\overline{AC}$ 分别在 $Q$ 与 $P$ 处和 $\overline{EF}$ 相交。求 $\dfrac{PQ}{EF}$ 。

Rectangle $ABCD$ has $AB=5$ and $BC=4.$ Point $E$ lies on $\overline{AB}$ so that $EB=1,$ point $G$ lies on $\overline{BC}$ so that $CG=1,$ and point $F$ lies on $\overline{CD}$ so that $DF=2.$ Segments $\overline{AG}$ and $\overline{AC}$ intersect $\overline{EF}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is the value of $\dfrac{PQ}{EF}?$

$~\dfrac{\sqrt{3}}{16}$

$~\dfrac{\sqrt{2}}{13}$

$~\dfrac{9}{82}$

$~\dfrac{10}{91}$

$~\dfrac19$

知识点：相似平行线矩形

难度评级：1970

小提示：

先求 $AC$ 和 $AG$ 在 $EF$ 上的交点位置。

First find where $AC$ and $AG$ cut $EF$

大提示：

用相似三角形表示 $\frac{PF}{EF}$ 与 $\frac{QF}{EF}$ 。

Use similar triangles to express $\frac{PF}{EF}$ and $\frac{QF}{EF}$

解答：

我们有 $AE=AB-EB=4$ 和 $FC=DC-DF=3$ 。因为 $AE\parallel FC$ ，所以三角形 $AEP$ 与 $CFP$ 相似。于是 $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34\text{，}$ 从而 $\frac{PF}{EF}=\frac37$ 。

延长 $AG$ ，与直线 $CD$ 交于 $X$ 。因为 $BG=3$ ，由相似得 $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35\text{，}$ 于是 $DX=\frac{20}{3}$ 。因此 $FX=DX-DF=\frac{14}{3}$ 。又因为 $AE\parallel FX$ ，三角形 $AEQ$ 与 $XFQ$ 相似，所以 $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76\text{。}$ 从而 $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}$ 。

因此 $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

We have $AE=AB-EB=4$ and $FC=DC-DF=3.$ Since $AE\parallel FC,$ the triangles $AEP$ and $CFP$ are similar. Therefore $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$ so $\frac{PF}{EF}=\frac37.$

Extend $AG$ to meet line $CD$ at $X.$ Because $BG=3,$ similarity gives $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ and hence $DX=\frac{20}{3}$ . Thus $FX=DX-DF=\frac{14}{3}.$ Since $AE\parallel FX,$ triangles $AEQ$ and $XFQ$ are similar, so $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$ Consequently $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.$

It follows that $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

20.

平面上的一次位似变换，也就是具有正比例因子的大小变换，把以 $A(2,2)$ 为圆心、半径为 $2$ 的圆变成以 $A'(5,6)$ 为圆心、半径为 $3$ 的圆。在这个变换下，原点 $O(0,0)$ 移动了多远？

A dilation of the plane—that is, a size transformation with a positive scale factor—sends the circle of radius $2$ centered at $A(2,2)$ to the circle of radius $3$ centered at $A'(5,6).$ What distance does the origin $O(0,0),$ move under this transformation?

$\ 0$

$\ 3$

$\ \sqrt{13}$

$\ 4$

$\ 5$

知识点：位似坐标几何向量

难度评级：1660

小提示：

位似比例因子是 $\frac{3}{2}$ 。

The dilation scale factor is $\frac{3}{2}$

大提示：

位似中心在两个圆心所在的直线上。

The center of dilation lies on the line through the two circle centers

解答：

半径从 $2$ 变为 $3$ ，所以位似比例因子为 $\frac32$ 。位似中心 $C$ 在 $A(2,2)$ 与 $A'(5,6)$ 所在的直线上。

从 $A$ 到 $A'$ 的向量为 $(3,4)$ 。若 $C$ 是位似中心，则由比例因子可得 $A'-A=\frac12(A-C)\text{。}$ 于是 $A-C=2(3,4)$ ，所以 $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6)$ 。

以 $C$ 为中心作比例因子为 $\frac32$ 的位似时，一个点移动的距离是它到 $C$ 距离的一半。由于 $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ ，原点移动的距离为 $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ 。

所以正确答案是 C。

The dilation scale factor is $\frac32$ , since the radius changes from $2$ to $3$ . The center of dilation $C$ lies on the line through $A(2,2)$ and $A'(5,6)$ .

The vector from $A$ to $A'$ is $(3,4)$ . If $C$ is the dilation center, then the scale factor gives $A'-A=\frac12(A-C).$ Thus $A-C=2(3,4)$ , so $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Under a scale factor $\frac32$ dilation about $C$ , a point moves by half its distance from $C$ . Since $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , the origin moves $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Thus, the correct answer is C.

21.

方程 $x^2+y^2=|x|+|y|$ 的图形围成区域的面积是多少？

What is the area of the region enclosed by the graph of the equation $x^2+y^2=|x|+|y|?$

$\ \pi+\sqrt{2}$

$\ \pi+2$

$\ \pi+2\sqrt{2}$

$\ 2\pi+\sqrt{2}$

$\ 2\pi+2\sqrt{2}$

知识点：绝对值圆面积分割

难度评级：1860

小提示：

先在第一象限求面积，再乘以 $4$ 。

Work in one quadrant and multiply by $4$

大提示：

第一象限的区域是一个三角形加一个半圆。

The first-quadrant region is a triangle plus a semicircle

解答：

这个方程在四个象限中都是对称的。在第一象限里它化为 $x^2+y^2=x+y\text{，}$ 即 $(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12\text{。}$

在第一象限中，围成的区域是直线 $x+y=1$ 下方的三角形，面积为 $\frac12$ ，再加上一个半径为 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 的半圆，面积为 $\frac\pi4$ 。

乘以 $4$ ，总面积为 $4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi\text{。}$

所以正确答案是 B。

The equation is symmetric in all four quadrants. In the first quadrant it becomes $x^2+y^2=x+y,$ or $(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12.$

In the first quadrant, the enclosed region is the triangle under $x+y=1$ , with area $\frac12$ , plus a semicircle of radius $\sqrt{\frac{1}{2}}$ , with area $\frac\pi4$ .

Multiplying by $4$ , the total area is $4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi.$

Thus, the correct answer is B.

22.

一组队伍进行循环赛，每支队伍与其他每支队伍恰好比赛一次。每支队伍都赢了 $10$ 场、输了 $10$ 场，没有平局。有多少个三队集合 $\{A, B, C\}$ 满足 $A$ 击败 $B$ ， $B$ 击败 $C$ ，且 $C$ 击败 $A$ ？

A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won $10$ games and lost $10$ games; there were no ties. How many sets of three teams $\{A, B, C\}$ were there in which $A$ beat $B,$ $B$ beat $C,$ and $C$ beat $A?$

$\ 385$

$\ 665$

$\ 945$

$\ 1140$

$\ 1330$

知识点：图论补集计数组合

难度评级：1820

小提示：

先数所有三队集合，再减去没有循环胜负的集合。

Count all triples of teams, then subtract transitive triples

大提示：

每支队伍作为最强队，会出现在 $\binom{10}{2}$ 个传递型三队集合中。

Each team is the top team in $\binom{10}{2}$ transitive triples

解答：

队伍总数为 $10+10+1=21$ 。因此三队集合总数为 $\binom{21}{3} = 1330$ 。

没有循环胜负的三队集合中，有一支队伍击败另外两支。选择这支队伍有 $21$ 种方法，再从它击败的十支队伍中选两支，有 $\binom{10}{2} = 45$ 种方法。因此非循环集合有 $21\cdot 45=945$ 个，循环集合数为 $1330-945=385$ 。

所以正确答案是 A。

The total number of teams is $10+10+1=21.$ The total number of sets is therefore $\binom{21}{3} = 1330.$

Now, we must subtract the total number of sets such that there is no cycle. This only happens if one team beats the other two teams. There are $21$ choices for the team that beat the other two and $\binom{10}{2} = 45$ ways to choose the teams they beat. Thus, the total of non-cycles is $21\cdot 45=945.$ This means the total number of cycles is $1330-945=385.$

Thus, the correct answer is A .

23.

在正六边形 $ABCDEF$ 中，点 $W$ 、 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 分别选在边 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{EF}$ 、 $\overline{FA}$ 上，使直线 $AB$ 、 $ZW$ 、 $YX$ 、 $ED$ 互相平行且间距相等。六边形 $WCXYFZ$ 的面积与六边形 $ABCDEF$ 的面积之比是多少？

In regular hexagon $ABCDEF,$ points $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are chosen on sides $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FA}$ respectively, so lines $AB,$ $ZW,$ $YX,$ and $ED$ are parallel and equally spaced. What is the ratio of the area of hexagon $WCXYFZ$ to the area of hexagon $ABCDEF?$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{10}{27}$

$\ \dfrac{11}{27}$

$\ \dfrac{4}{9}$

$\ \dfrac{13}{27}$

知识点：正多边形面积比相似

难度评级：2300

小提示：

延长 $\overline{FE}$ 和 $\overline{CD}$ ，直到它们相交。

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet

大提示：

比较以延长交点为公共顶点的三个相似三角形的面积。

Compare the areas of three similar triangles with vertex at the extension point

解答：

延长 $\overline{FE}$ 和 $\overline{CD}$ ，直到它们相交于点 $P$ 。

设 $d$ 为 $ZW$ 与 $FC$ 之间的距离。因为题中的四条直线彼此等距，且 $FC$ 恰好位于 $ZW$ 与 $YX$ 的正中间，所以 $ED$ 到 $ZW$ 的距离是 $2d$ 。设从 $P$ 到 $ED$ 的高为 $h$ 。等边三角形 $PED$ 与 $PFC$ 的边长之比为 $1:2$ ，所以它们的高满足 $h+3d=2h\text{，}$ 从而 $h=3d$ 。因此 $PZW$ 与 $PED$ 的边长之比为 $\frac{h+2d}{h}=\frac53\text{。}$

取 $[PED]=1$ ，由相似可得 $[PZW]=\frac{25}{9}$ 和 $[PFC]=4$ 。于是 $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3 \end{aligned}\text{。}$ 所求的六边形由两块全等的 $ZWCF$ 拼成，而正六边形由两块全等的 $EDCF$ 拼成。因此所求的比值是 $\frac{\frac{11}{9}}{3}=\frac{11}{27}$ 。

所以正确答案是 C。

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet at $P.$

Let $d$ be the distance between $ZW$ and $FC.$ Because the four given lines are equally spaced and $FC$ lies halfway between $ZW$ and $YX,$ the distance from $ED$ to $ZW$ is $2d.$ Let the altitude from $P$ to $ED$ be $h.$ The equilateral triangles $PED$ and $PFC$ have side lengths in the ratio $1:2,$ so their altitudes satisfy $h+3d=2h,$ giving $h=3d.$ Therefore the side-length ratio of $PZW$ to $PED$ is $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

Taking $[PED]=1,$ similarity gives $[PZW]=\frac{25}{9}$ and $[PFC]=4.$ Hence $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$ The desired hexagon consists of two congruent copies of $ZWCF,$ while the regular hexagon consists of two congruent copies of $EDCF.$ Thus the requested ratio is $\frac{\frac{11}{9}}{3}=\frac{11}{27}.$

Thus, the correct answer is C .

24.

有多少个四位整数 $abcd$ ，其中 $a \neq 0$ ，满足：三个两位数 $ab < bc < cd$ 构成一个递增等差数列？

其中一个例子是 $4692$ ，此时 $a=4$ 、 $b=6$ 、 $c=9$ 、 $d=2$ 。

How many four-digit positive integers $abcd,$ with $a \neq 0,$ have the property that the three two-digit integers $ab < bc < cd$ form an increasing arithmetic sequence?

One such number is $4692,$ where $a=4,$ $b=6,$ $c=9,$ and $d=2.$

$\ 9$

$\ 15$

$\ 16$

$\ 17$

$\ 20$

知识点：等差数列数字分类讨论

难度评级：2390

小提示：

等差数列条件是 $2bc=ab+cd$ 。

The arithmetic-sequence condition is $2bc=ab+cd$

大提示：

数字方程会分成两种进位情形。

The digit equation has two possible carry cases

解答：

由 $ab<bc<cd$ ，可得 $a\le b\le c$ 。等差数列条件为 $\begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d) \end{aligned}\text{，}$ 整理得 $10(a-2b+c)=-b+2c-d\text{。}$ 右边是 $10$ 的倍数。因为 $b\le c$ ，四个符号都是数字，且 $b\ge1$ ，所以右边介于 $-9$ 和 $17$ 之间。因此它只能是 $0$ 或 $10$ 。

情况 $1$ ： $\begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1 \end{aligned}\text{。}$

下面逐一考察 $c$ 的可能值。

$c=6$ ： $b+d=2, 2b-5=a$ 。由第一个方程有 $b\leq 2$ ，但这无法满足第二个方程。

$c=7$ ： $b+d=4, 2b-6=a$ 。由第一个方程有 $b\leq 4$ ，由第二个方程有 $b > 3$ ，所以只有 $b=4$ 这一种情况。

$c=8$ ： $b+d=6, 2b-7=a$ 。由第一个方程有 $b\leq 6$ ，由第二个方程有 $b > 3$ ，所以 $b=4,5,6$ 。给出三种情况。

$c=9$ ： $b+d=8, 2b-8=a$ 。由第一个方程有 $b\leq 8$ ，由第二个方程有 $b > 4$ ，所以 $b=5,6,7,8$ 。给出四种情况。本情况的解为 $\begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890 \end{gathered}\text{，}$ 共 $8$ 个。

情况 $2$ ： $-b+2c-d=0\text{，}$ $2b-a-c=0\text{，}$ 这表示四个数字构成等差数列。

若公差为 $1$ ，则 $1 \leq a \leq 6$ ，给出 $6$ 个解。

若公差为 $2$ ，则 $1 \leq a \leq 3$ ，给出 $3$ 个解。若公差至少为 $3$ ，就会迫使 $d=a+3r>9$ 。因此本情况给出 $9$ 个解。

总解数为 $8+9 = 17$ 。

所以正确答案是 D。

From $ab<bc<cd$ , we have $a\le b\le c.$ The arithmetic-sequence condition is $\begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d), \end{aligned}$ which rearranges to $10(a-2b+c)=-b+2c-d.$ The right side is a multiple of $10.$ Because $b\le c$ and all four symbols are digits with $b\ge1,$ it lies between $-9$ and $17$ . Hence it is either $0$ or $10.$

Case $1:$ $\begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1. \end{aligned}$

We can look at the possible values of $c.$

$c=6:$ $b+d=2, 2b-5=a.$ Thus, $b\leq 2$ from the first equation, but can’t work for the second equation.

$c=7:$ $b+d=4, 2b-6=a.$ Thus, $b\leq 4$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes one case for $b=4.$

$c=8:$ $b+d=6, 2b-7=a.$ Thus, $b\leq 6$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes three cases for $b=4,5,6.$

$c=9:$ $b+d=8, 2b-8=a.$ Thus, $b\leq 8$ from the first equation, and $b > 4$ from the second equation. This makes four cases for $b=5,6,7,8.$ Altogether this case gives $\begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890, \end{gathered}$ for $8$ solutions.

Case $2:$ $-b+2c-d=0,$ $2b-a-c=0,$ which means the digits are an arithmetic sequence.

If the difference is $1,$ then $1 \leq a \leq 6$ makes $6$ solutions.

If the difference is $2,$ then $1 \leq a \leq 3$ makes $3$ solutions. A difference of at least $3$ would force $d=a+3r>9.$ This case therefore gives $9$ solutions.

In total, the number of solutions is $8+9 = 17.$

Thus, the correct answer is D .

25.

令 $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor)\text{，}$ 其中 $\lfloor r \rfloor$ 表示小于或等于 $r$ 的最大整数。当 $x \ge 0$ 时， $f(x)$ 会取到多少个不同的值？

Let $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $r.$ How many distinct values does $f(x)$ assume for $x \ge 0?$

$\ 32$

$\ 36$

$\ 45$

$\ 46$

$\ \text{无穷多个}$

$\ \text{infinitely many}$

知识点：取整函数欧拉函数

难度评级：2440

小提示：

只有 $x$ 的小数部分会影响函数值。

Only the fractional part of $x$ matters

大提示：

数出 $2\le k\le10$ 时不同的断点 $\frac{i}{k}$ 。

Count distinct breakpoints $\frac{i}{k}$ for $2\le k\le10$

解答：

写 $x=\lfloor x\rfloor+t$ ，其中 $0\le t\lt1$ 。则 $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor\text{，}$ 所以 $f(x)$ 只取决于小数部分 $t$ 。

$f$ 的值只会在 $t$ 跨过某个分数 $\frac{i}{k}$ 时改变，其中 $2\le k\le10$ ， $1\le i\lt k$ 。在 $(0,1)$ 内这些不同分数的个数是 $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31 \end{aligned}\text{。}$

加上第一个断点之前的初始取值， $f$ 共有 $31+1=32$ 个不同的值。

所以正确答案是 A。

Write $x=\lfloor x\rfloor+t$ , where $0\le t\lt1$ . Then $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,$ so $f(x)$ depends only on the fractional part $t$ .

The value of $f$ changes only when $t$ crosses a fraction $\frac{i}{k}$ , where $2\le k\le10$ and $1\le i\lt k$ . The number of distinct such fractions in $(0,1)$ is $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}$

Including the initial value before the first breakpoint, $f$ assumes $31+1=32$ distinct values.

Thus, the correct answer is A.