Question

对每个正整数 $n$ ，令 $f_1(n)$ 为 $n$ 的正因数个数的两倍；对于 $j \ge 2$ ，令 $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n))$ 。有多少个 $n \le 50$ 满足 $f_{50}(n) = 12$ ？

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：D

知识点：因数个数递推逆推法

难度评级：2130

小提示：

$f_1(n)=12$ 表示 $n$ 有 $6$ 个因数。

$f_1(n)=12$ means $n$ has $6$ divisors

大提示：

还要检查 $f_1(n)=18$ 或 $20$ ，因为它们下一步会映到 $12$ 。

Also check $f_1(n)=18$ or $20,$ since those map to $12$ next

解答：

数值 $12$ 是固定点，因为 $12$ 有 $6$ 个正因数，所以 $f_1(12)=12$ 。

先找所有满足 $n\le50$ 且 $f_1(n)=12$ 的 $n$ ，也就是有 $6$ 个因数的数： $12,18,20,28,32,44,45,50\text{。}$

再检查 $f_1(n)$ 在到达 $12$ 之前能否取到上述其他值。由于 $f_1(n)$ 是因数个数的两倍，列表中只有 $18$ 和 $20$ 有用，分别表示 $n$ 有 $9$ 或 $10$ 个因数。

对 $n\le50$ ，额外的可能为 $36$ （有 $9$ 个因数）和 $48$ （有 $10$ 个因数）。因此共有 $8+2=10$ 个 $n$ 。

所以正确答案是 D。

The value $12$ is fixed by the function, since $12$ has $6$ positive divisors and therefore $f_1(12)=12.$

First find all $n\le50$ with $f_1(n)=12,$ meaning $n$ has $6$ divisors. These are $12,18,20,28,32,44,45,50.$

Now check whether $f_1(n)$ can be one of these values before reaching $12.$ Since $f_1(n)$ is twice a divisor count, the only useful possibilities in that list are $18$ and $20,$ meaning $n$ has $9$ or $10$ divisors.

For $n\le50,$ the additional possibilities are $36,$ which has $9$ divisors, and $48,$ which has $10$ divisors. Therefore there are $8+2=10$ values of $n.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 23 题

答案：D

难度评级：2130

小提示：

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解答：

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