Question

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 按此顺序位于一条直线上，且 $AB=CD$ 、 $BC=12$ 。点 $E$ 不在这条直线上，并且 $BE=CE=10$ 。 $\triangle AED$ 的周长是 $\triangle BEC$ 周长的两倍。求 $AB$ 。

Points $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ lie on a line, in that order, with $AB=CD$ and $BC=12.$ Point $E$ is not on the line, and $BE=CE=10.$ The perimeter of $\triangle AED$ is twice the perimeter of $\triangle BEC.$ Find $AB.$

$\dfrac{15}{2}$

$8$

$\dfrac{17}{2}$

$9$

$\dfrac{19}{2}$

答案：D

知识点：等腰三角形勾股定理周长

难度评级：1660

小提示：

设 $M$ 是 $BC$ 的中点；则 $EM\perp AD$ ，且 $EM=8$ 。

Let $M$ be the midpoint of $BC;$ then $EM\perp AD$ and $EM=8$

大提示：

令 $AB=CD=x$ 、 $AE=ED=y$ ，使用周长条件和勾股定理。

With $AB=CD=x$ and $AE=ED=y,$ use the perimeter condition and the Pythagorean theorem

解答：

设 $M$ 是 $BC$ 的中点。因为 $BE=CE$ ，所以 $EM\perp BC$ ，且 $EM=\sqrt{10^2-6^2}=8$ 。由对称性 $AE=ED$ ；设 $AB=CD=x$ 、 $AE=ED=y$ 。

由周长条件， $2y+(2x+12)$ $=2(10+10+12)=64$ ，所以 $x+y=26$ 。勾股定理又给出 $y^2=EM^2+(x+6)^2$ $=64+(x+6)^2$ 。

代入 $y=26-x$ ，得到 $(26-x)^2=64+(x+6)^2$ ，即 $676-52x=100+12x$ ，所以 $64x=576$ ，从而 $x=9$ 。

所以正确答案是 D。

Let $M$ be the midpoint of $BC.$ Since $BE=CE,$ $EM\perp BC$ and $EM=\sqrt{10^2-6^2}=8.$ By symmetry $AE=ED;$ write $AB=CD=x$ and $AE=ED=y.$

The perimeter condition gives $2y+(2x+12)$ $=2(10+10+12)=64,$ so $x+y=26.$ Also $y^2=EM^2+(x+6)^2$ $=64+(x+6)^2.$

Substituting $y=26-x,$ $(26-x)^2=64+(x+6)^2,$ which simplifies to $676-52x=100+12x,$ so $64x=576$ and $x=9.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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