Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=13$ 、 $BC=14$ 、 $CA=15$ 。不同的点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CA}$ 、 $\overline{DE}$ 上，且 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$ 、 $\overline{DE}\perp\overline{AC}$ 、 $\overline{AF}\perp\overline{BF}$ 。线段 $\overline{DF}$ 的长度可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m+n$ ？

In triangle $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14,$ and $CA=15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ and $\overline{DE},$ respectively, such that $\overline{AD}\perp\overline{BC},$ $\overline{DE}\perp\overline{AC},$ and $\overline{AF}\perp\overline{BF}.$ The length of segment $\overline{DF}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

答案：B

知识点：圆内接四边形托勒密定理高线相似

难度评级：2300

小提示：

用 $13$ - $14$ - $15$ 三角形的面积信息求高的垂足。

Use the $13$ - $14$ - $15$ area data to find the altitude foot

大提示：

用圆内接四边形或相似三角形确定 $F$ 在 $DE$ 上的位置。

Use the cyclic quadrilateral or similar triangles to locate $F$ on $DE$

解答：

设 $BD=x$ ，则 $CD=14-x$ 。分别对直角三角形 $ABD$ 和 $ACD$ 应用勾股定理，得到 $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2\text{。}$ 因此 $BD=5$ ， $CD=9$ ，且 $AD=12$ 。

得到下图：

因为 $AD\perp BC$ 且 $DE\perp AC$ ，所以 $\angle ADE=\angle ACD$ 。又有 $\angle AFB=\angle ADB=90^\circ$ ，故 $A,B,D,F$ 四点共圆。因此 $\angle ABF=\angle ADF=\angle ACD\text{。}$ 在直角三角形 $ACD$ 中， $\cos(\angle ACD)=\frac35$ ，且 $\sin(\angle ACD)=\frac45$ 。所以在直角三角形 $ABF$ 中， $\begin{aligned} BF&=13\cdot\frac35,\\ AF&=13\cdot\frac45 \end{aligned}\text{。}$

由托勒密定理， $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD \end{aligned}\text{。}$ 因此， $\begin{aligned} 13\cdot DF&+5\left(13\cdot\frac45\right)\\ &=12\left(13\cdot\frac35\right) \end{aligned}\text{。}$

两边除以 $13$ ，得 $DF+4=\frac{36}{5}$ ，所以 $DF=\frac{16}{5}$ 。于是 $m+n=21$ ，正确答案是 B。

Let $BD=x$ , so $CD=14-x$ . Applying the Pythagorean Theorem to right triangles $ABD$ and $ACD$ gives $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2.$ Thus $BD=5$ , $CD=9$ , and $AD=12$ .

This yields the following diagram:

Because $AD\perp BC$ and $DE\perp AC$ , we have $\angle ADE=\angle ACD$ . Also, $\angle AFB=\angle ADB=90^\circ$ , so $A,B,D,F$ are concyclic. Hence $\angle ABF=\angle ADF=\angle ACD.$ In right triangle $ACD$ , $\cos(\angle ACD)=\frac35$ and $\sin(\angle ACD)=\frac45$ . Therefore, in right triangle $ABF$ , $\begin{aligned} BF&=13\cdot\frac35,\\ AF&=13\cdot\frac45. \end{aligned}$

By Ptolemy’s Theorem, we get $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD . \end{aligned}$ Therefore, $\begin{aligned} 13\cdot DF&+5\left(13\cdot\frac45\right)\\ &=12\left(13\cdot\frac35\right). \end{aligned}$

Dividing by $13$ gives $DF+4=\frac{36}{5}$ , so $DF=\frac{16}{5}$ . Thus $m+n=21$ , and the correct answer is B .

2013 AMC 10B 第 23 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题